Лекция 5. Законы сохранения. Теорема Нетер.

В замкнутой механической системе (т.е. нет действия внешних сил) в отсутствии диссипативных сил движение системы может происходить только под действием внутренних центральных сил, удовлетворяющим третьему закону Ньютона и зависящих только от расстояния между точками. Эти силы являются потенциальными

Имеют место три закона сохранения

=const, T + П = E, = const

Любая из этих величин равна сумме значений для каждой из материальных точек, т.е. обладает свойством аддитивности.

В декартовых координатах эти законы имеют вид

=

Таким образом в проекциях на оси декартовой системы координат имеем семь первых интегралов: три интеграла количества движения, один интеграл энергии и три интеграла момента количества движения.

Законы сохранения могут быть сформулированы эмпирическим путем или выведены из некоторых общих принципов.

Определим величины: энергия, импульс (количество движения), момент импульса. Рассмотрим связь законов сохранения этих величин со свойствами пространства, которые постулированы на основании некоторого опыта.

Однозначное задание всех координат и скоростей полностью определяет положение системы. Соотношение, связывающее ускорение с координатами и скоростями, называется уравнением движения. По отношению к функции L - это уравнение второго порядка. Для определения положения системы из материальных точек в пространстве надо задать координат. Это могут быть не только декартовы координаты.

Любые s величин q_i, однозначно характеризующих положение системы, называются обобщенными координатами, производные - обобщенными скоростями.

Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона).

Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией , причем движение системы удовлетворяют следующему условию.

Пусть в моменты времени t=t₁ и t=t₂ система занимает определенные положения, характеризуемых двумя наборами значений координат q⁽¹⁾ и q⁽²⁾. Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл имел наименьшее возможное значение, вариация этого интеграла была равна нулю:

Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл S – действием. Функция Лагранжа содержит только координаты и их производные (скорости). Это означает, что механическое состояние полностью определяется заданием координат и скоростей.

Производя варьирование при условии qd(t₁) = qd(t₂) = 0, получим .

Замечая, что , проинтегрируем второй член по частям и получим

+ .

Дата добавления: 2015-07-14