Свойства функции Лагранжа.

При движении механической системы 2s величин , определяющих ее состояние, изменяются со временем. Однако, существуют такие функции этих величин, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называют интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с s степенями свободы равно 2s –1.

Однако не все интегралы движения играют одинаково важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени – их однородностью и изотропией. Все эти сохраняющиеся величины имеют важное общее свойство аддитивности – их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой части в отдельности. Именно свойство аддитивности придает соответствующим величинам особо важную роль в механике.

В развитии современной теоретической физики большое значение имеет теорема Э.Нетер (1918). В ней установлена общая связь между преобразованиями, оставляющими действие инвариантным, и законами сохранения. Теорема Нетер в наиболее простом случае сводится к утверждению о том, что любому непрерывному обратимому преобразованию координат, при котором функция действия данной гамильтоновой системы остается инвариантной, соответствует первый интеграл уравнения Лагранжа этой системы.

Так, для инвариантности функции Лагранжа относительно смещения начала отсчета в пространстве (однородность пространства) соответствует закон сохранения количества движения; инвариантность функции Лагранжа относительно смещения начала отсчета времени (однородность времени) соответствует закон сохранения энергии; инвариантность относительно пространственных поворотов (изотропность пространства) соответствует закону сохранения импульса.

Однородность времени. Закон сохранения энергии связан с однородностью времени.

В силу однородности времени функция Лагранжа не зависит от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана следующим образом:

Заменяя производные согласно уравнениям Лагранжа на , получим

или . Отсюда видно, что величина остается неизменной при движении замкнутой системы, т.е. является одним из ее интегралов движения. Эта величина называется энергией системы. Механические системы, энергия которых сохраняется, называют консервативными. Энергия системы может быть представлена в виде суммы двух существенно различных членов: кинетической энергии, зависящей от скоростей, и потенциальной энергии, зависящей только от координат частиц.

Однородность пространства. Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства. В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве. Рассмотрим бесконечно малый перенос системы на отрезок и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной.

Параллельный перенос означает преобразование, при котором все точки системы смещаются на один и тот же отрезок, т. е. их радиус-векторы

.

Изменение функции L в результате бесконечно малого изменения координат при неизменных скоростях частиц есть ,

где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Ввиду произвольности требование dL эквивалентно требованию

,

В силу уравнений Лагранжа получаем отсюда:

,

Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой системе векторная величина

остается неизменной при движении. Вектор называется импульсом системы. Дифференцируя функцию Лагранжа, найдем, что импульс следующим образом выражается через скорости точек:

Аддитивность импульса очевидна. Закон сохранения всех трех компонент импульса имеет место лишь в отсутствие внешнего поля.

Исходное равенство (1) имеет простой физический смысл. Производная есть сила , действующая на частицу. Таким образом, равенство (1) означает, что сумма сил, действующих на все частицы замкнутой системы, равна нулю: ,

Изотропность пространства. С изотропией пространства. Связан закон сохранения момента импульса. Это означает, что при любом повороте системы как целого механические свойства замкнутой системы не меняются. Рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы функция Лагранжа при этом не менялась.

Введем вектор бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу поворота, а направление совпадает с осью поворота.

Линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом соотношением

.

Направление вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через и . Поэтому ясно, что .

При повороте системы меняется направление не только радиус-вектора, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат

Подставив эти выражения в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте

,

заменяем производные , :

или, производя циклическую перестановку множителей и вынося за знак суммы:

.

Ввиду произвольности отсюда следует, что ,

т.е. мы приходим к выводу, что при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина , называемая моментом импульса системы.

Аддитивность этой величины очевидна. Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения. Таким образом, всякая замкнутая система имеет всего семь интегралов: энергия и по три компоненты векторов импульса и момента импульса.

Теорема вириала.

Если движение системы, потенциальная энергия которой является однородной функцией координат, происходит в ограниченной области пространства, существует весьма простое соотношение между средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергией; оно известно под названием вириальной теоремы.

Для ньютоновского взаимодействия 2T=-U.

При стационарном движении спутника по орбите Земли и электрона вокруг ядра потенциальная энергия по абсолютной величине в два раза больше кинетической: U=-T.

Ньютоновская потенциальная энергия U=-GMm/r. Сила притяжения спутника Земли F=GMm/r², а его центростремительное ускорение v²/r. Учитывая, что кинетическая энергия системы T=GMm/r, получаем T=1/2U.

GMm/r² = mv²/r, GMm/r = mv², U=2T.

Движение галактик в галактических скоплениях. Теорема вириала утверждает, что для стационарной гравитирующей системы сумма полной потенциальной энергии U и удвоенной кинетической энергии должна равняться нулю.

Гравитационная энергия скопления галактик U по порядку величины GM²/R, где M - полная масса скопления, R -радиус скопления. E_k = Mv²/2 - полная средняя кинетическая энергия поступательного движения галактик в скоплении. Отсюда следует: M= v²R/G.

Динамическая масса по этой формуле в десятки раз превосходит видимую массу.

Дата добавления: 2015-07-14