Замечания

1. В качестве следствия из теоремы о пределе произведения получаем, что если одна из перемножаемых последовательностей является стационарной, например, , то ,

так как предел постоянной равен этой постоянной. Поэтому следствие можно сформулировать так:

постоянный множитель можно выносить за знак предела последовательности.

2. Теоремы о пределе суммы и о пределе произведения сходящихся последовательностей распространяются на любое конечное числослагаемых или сомножителей: ;

.

Теорема о пределе дроби

Если последовательность – сходится, последовательность – сходится, но при этом не является бесконечно малой и : , то сходящуюся последовательность образуют дроби , при этом .

w ;

Дроби можно образовать, так как , и представить в следующем виде:

.

Поработаем с :

следовательно, ограниченная как всякая сходящаяся последовательность, но не является бесконечно малой (так как ); при этом при достаточно больших номерах n величины являются положительными, так как сохраняют знак своего предела , поэтому обратные им величины также являются ограниченными.

Теперь можно сделать вывод о том, что величины образуют бесконечно малую последовательность (по теореме о произведении бесконечно малой и ограниченной послдовательностей).

Таким образом доказано, что

. v

Дата добавления: 2015-07-12