Предел последовательности

Определение предела последовательности

Конечная или бесконечно удаленная точка а координатной прямой называется пределом числовой последовательности , если какова бы ни была окрестность точки а, она содержит все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера .

Обозначения: или при или .

Краткая запись определения предела:

(1)

Геометрическая иллюстрация и формальное описание конечного предела последовательности

1. Если , то есть а – это конечная точка координатной прямой, то проиллюстрировать определение предела последовательности можно так, как на рис 3.

Рис. 3

При этом важно заметить следующие детали определения:

1) окрестность назначается произвольно; вне любой окрестности точки а может находиться лишь конечное количество членов последовательности , но внутри этой же окрестности всегда находится их бесконечное количество — все , начиная с некоторого номера ;

2) все числа стремятся (приближаются) к числу а в том смысле, что могут отличаться от него сколь угодно мало или, что то же, числа подходят к числу а сколь угодно близко;

3) приближение чисел к числу а возможно как с обеих сторон, так и только с одной стороны: слева или справа;

4) не исключается, что значения некоторых совпадают с числом а.

Если окрестность точки а описать как - окрестность, то нетрудно составить и проиллюстрировать формальное описание конечного предела последовательности (рис.4).

Рис. 4

(2)

Записанное определение (2) прочитывается следующим образом:

число а называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа , сколь малым бы оно ни было, можно указать номер , зависящий от , такой что выполняется неравенство для всех номеров n, начиная с номера .

Кратко смысл этого определения можно сформулировать так:

если , то это означает, что члены последовательности становятся сколь угодно близкими к числу , если брать номера достаточно большими.

Геометрическая иллюстрация и формальное описание предела последовательности, равного

2. Если , то иллюстрация к определению в соответствии с формальной записью (1) имеет вид, приведенный на рис. 5.

Рис. 5

При этом также замечаем, что вне любой окрестности может находиться лишь конечное число точек , внутри этой окрестности всегда находится бесконечное количество точек . Так как окрестность может назначаться любая, то числа должны увеличиваться с возрастанием номера и становиться сколь угодно большими.

Если окрестность точки описать как - окрестность: , то получится формальное описание предела, равного , и его иллюстрация (рис. 6):

Рис. 6

(3)

Формулируем краткий смысл этого определения:

если , то это означает, что члены последовательности становятся сколь угодно большими положительными, если брать номера достаточно большими.

Геометрическая иллюстрация и формальное описание предела последовательности, равного

3. Если , то (рис.7)

Рис.7

(4)

Краткое описание этого определения:

если , то это означает, что члены последовательности становятся сколь угодно большими по модулю, но отрицательными, если брать номера достаточно большими. }

Геометрическая иллюстрация и формальное описание предела последовательности, равного

4. Если , то (рис. 8)

Рис.8

(5)

Краткий смысл этого определения:

если , то это означает, что члены последовательности становятся сколь угодно большими по модулю, если брать номера достаточно большими.

Дата добавления: 2015-07-12