Читайте также: |
|
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме.
Пусть дано дифференциальное уравнение (6.1). Найти приближенное численное решение этого дифференциального уравнения, т.е. составить таблицу приближенных значений функции у=у(х) удовлетворяющей заданным начальным условиям.
x | x0 | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | … | xn |
y | y0 | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | … | yn |
Где, xi=x0+i×h, – шаг таблицы.
Приближенно можно считать, что правая часть в (6.1) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближенной формуле:
y-y0=f(x0,y0)×(x-x0)
y=y0+f(x0,y0)×(x-x0)
если x=x1, то
y1=y0+f(x0,y0)×(x1-x0)
y1=y0+h×f(x0,y0)
Dy0=h×f(x0,y0)
если x=x2, то
y2=y1+f(x1,y1)×(x2-x1)
y2=y1+h×f(x1,y1)
Dy1=h×f(x1,y1)
…
если x=xi+1, то
yi+1=yi+h×f(xi,yi)
Dyi=h×f(xi,yi)
Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:
Dyk=h×f(xk,yk)
yk+1=yk+Dyk
где k=0, 1, 2, …,n
Пример 1
Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение y'=cos y + 3 x с начальным условием y(0)=1,3 на отрезке [0, 1] приняв шаг h=0,2
k | xk | yk | Dyk=0,2×(cos yk+3×xk) |
1,3 | 0,05 | ||
0,2 | 1,35 | 0,16 | |
0,4 | 1,52 | 0,25 | |
0,6 | 1,77 | 0,32 | |
0,8 | 2,09 | 0,38 | |
2,47 |
Алгоритм решения задачи на рис. 6.5.
Программу составить самостоятельно.
{Программа 6.1}
var x,y,a,b,h:real; {Метод Эйлера}
function f(x,y:real):real;
begin f:= cos(y)+3*x; end;
begin
writeln('введите y, a, b, h');
readln(y,a,b,h); x:=a;
repeat
writeln(x:0:3,' ',y:0:3);
y:=y+h*f(x,y);
x:=x+h;
until x>b+0.1;
readln; end.
Пример 2
Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение y'=cos y + 3×x с начальным условием y(0)=1,3 на отрезке [0, 1] приняв шаг h=0,1
k | xk | y2k | yk |
1,3 | 1,30 | ||
0,1 | 1,33 | ||
0,2 | 1,35 | 1,38 | |
0,3 | 1,46 | ||
0,4 | 1,52 | 1,56 | |
0,5 | 1,68 | ||
0,6 | 1,77 | 1,82 | |
0,7 | 1,98 | ||
0,8 | 2,09 | 2,15 | |
0,9 | 2,33 | ||
2,47 | 2,53 |
Вывод: погрешность метода Эйлера слишком велика для решения практических задач. Дальнейшим развитием метода Эйлера явились методы Рунге-Кутта.
Дата добавления: 2015-10-31; просмотров: 133 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Несколько определений | | | Общий случай задачи оптимизации |