Определение скорости точки

Вектор скорости v точки направлен по касательной к траектории и определяется одной проекцией , равной первой производной от криволинейной координаты s этой точки по времени:

= ds / dt = .

Величину , которая может быть как положительной, так и отрицательной, называют числовым ( или алгебраическим) значением скорости.

Модуль скорости v = | | и, следовательно, значения v и могут отличаться лишь знаком:

v = , если точка движется в положительном направлении отсчета координаты s, или
v = - , если точка движется в противоположном направлении.

Таким образом, величина определяет одновременно и модуль скорости, и сторону, в которую направлен вектор v вдоль касательной.

Мгновенным ускорением (или просто ускорением) тела называют предел отношения малого изменения скорости к малому промежутку времени Δ t, в течение которого происходило изменение скорости:

Направление вектора ускорения в случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости Составляющие вектора ускорения называют касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями (рис. 1.1.5).

Рисунок 1.1.5. Касательное и нормальное ускорения

Касательное ускорение указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю:

Вектор направлен по касательной к траектории.

Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.

Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей (рис. 1.1.6).

Рисунок 1.1.6. Движение по дугам окружностей

Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент:

Вектор всегда направлен к центру окружности (см. §1.6).

1. Определение скорости и ускорения при вектором способе задания движения м.т.

Пусть движение задано в прямоугольной системе координат Oxyz, которую мы принимаем за неподвижную, и нам известны законы изменения координат точки: x = x(t); y = y(t); z = z(t).

дифференцируем, учитывая, что единичные векторы осей координат постоянны:

(2)

Проекциями вектора ускорения на оси координат являются сомножители перед единичными векторами в равенстве (2), следовательно,

(3)

Зная проекции ускорения на оси координат, можно определить величину вектора ускорения:

(4)

Направляющие косинусы, определяющие направление вектора ускорения в системе координат, будут равны

(5)

Формулу (2) можно использовать для геометрического построения вектора ускорения. Представляя вектор ускорения как сумму трех взаимно перпендикулярных составляющих

(6)

где

(7)

а затем геометрически сложив их, найдем вектор ускорения. При построении составляющих по формулам (7) нужно учитывать знаки вторых производных координат точки. Если они положительны, то направления составляющих совпадают с направлениями единичных векторов, если они отрицательны, то составляющие направлены в противоположную сторону.

Дата добавления: 2015-10-28