Теоремы о сложении скоростей точки и об абсолютной производной вектора.

Здесь мы рассмотрим как вычисляется абсолютная скорость точки, участвующей в сложном движении, доказав при этом теорему об абсолютной производной вектора.

Положение точки M и начала подвижной системы координат точки A в неподвижной системе координат определим радиус-векторами r и rA, положение точки M в подвижной системе координат определим радиус-вектором ρ, который известен в проекциях на оси подвижной системы координат, т.е. ρ = x1i1 + y1j1 + z1k1. На рис. 105 мы видим, что r = rA + ρ. Аналогичное выражение было получено и для движения свободного твердого тела. Однако в нашем случае точка M свободно перемещается в подвижной системе координат, ее радиус-вектор изменяется не только по направлению, но и по величине: ρ < > const.

Дифференцируя по времени выражение r находим абсолютную скорость точки, которая характеризует быстроту изменения положения точки в неподвижной системе координат:

(1)

где A - абсолютная скорость начала подвижной системы координат; dρ / dt является производной вектора ρ, известного в подвижной системе координат, которую находят в неподвижной системе координат и называют абсолютной производной вектора ρ.

Найдем абсолютную производную вектора ρ:

(2)

Учитывая, что единичные векторы подвижной системы координат изменяют свое направление в пространстве, но постоянны по величине, используем формулу Эйлера для вычисления их производных, согласно которой

где ω - угловая скорость вращения подвижной системы координат в неподвижной. Поэтому сумма последних трех слагаемых в (2) равна

(3)

Первые три слагаемых в (2) характеризуют быстроту изменения вектора ρ в подвижной системе координат и их сумма называется относительной или локальной производной:

(4)

Подставляя выражения (3) и (4) в (2), получаем

(5)

Заметим, что если ρ = const, из (4) следует равенство нулю относительной производной вектора ρ, а из (5) получается формула Эйлера.

То есть мы показали справедливость формулы Эйлера и для векторов постоянных по величине, известных в произвольно двигающихся системах координат, так как здесь на движение подвижной системы координат никакие ограничения не накладывались.

Выражение (5) можно распространить и на любой другой вектор, известный в подвижной системе координат, например, b:

(6)

12. Сложное движение м.т. Теорема о сложении ускорений – определение абсолютного ускорения м.т.

Рассмотрим простейший случай, когда движение точки исследуется в двух системах координат, одну из которых Oxyz мы примем за неподвижную, а вторую - Ax1y1z1 считаем подвижной (рис. 104).

Движение точки относительно неподвижной системы координат называется абсолютным движением точки.

Движение точки относительно подвижной системы координат называется относительным движением точки. Все параметры относительного движения точки пишутся с подстрочным индексом r (от латинского relativus - относительный), например, относительная скорость точки - r.

Движение подвижной системы координат в неподвижной системе координат называется переносным движением.

Для выделения переносного движения точки используют прием остановки или замораживания. Точку мысленно останавливают в подвижной системе координат (вмораживают в подвижную систему координат) и наблюдают, как подвижная система координат переносит точку относительно неподвижной системы координат. Это и будет переносным движением точки.

Все параметры переносного движения и переносного движения точки пишутся с подстрочным индексом e (от латинского entraner - увлекать за собой), например, угловая скорость вращения подвижной системы координат в неподвижной - ωe, или переносная скорость точки - e.

Прием останова можно использовать и для выделения относительного движения точки, мысленно останавливая переносное движение подвижной системы координат в неподвижной.

Дата добавления: 2015-10-28