Случай, когда векторы скоростей точек параллельны между собой и не перпендикулярны отрезку, соединяющему точки.

В этом случае принято говорить о мгновенно поступательном движении тела. А это значит, что в данный момент движения фигуры (звена АВ).

1) угловая скорость тела равна нулю;

2) М.Ц.С. находится в бесконечности;

3) скорости всех точек тела равны между собой.

Следует добавить также, что равенство скоростей наблюдается только в данный момент движения тела. Ускорения точек тела различны.

ДИНАМИКА

Вопрос №1

Динамика – раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил. Осн.законы механики (зак-ны Галилея-Нютона): закон инерции (1-ый закон): материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние; основной закон динамики (2-ой закон (Ньютона)): ускорение матер.точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление ; закон равенства действия и противодействия (3-й закон (Ньютона)): всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие; закон независимости сил: несколько одновременно действующих на матер.точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме. В классической механике масса движущегося тела принимается равной массе покоящегося тела, – мера инертности тела и его гравитационных свойств. Масса = весу тела, деленному на ускорение свободного падения.

1. m=G/g, g»9,81м/с². g зависит от географической широты места и высоты над уровнем моря – не постоянная величина. Сила – 1Н (Ньютон) = 1кг×м/с². Система отсчета, в которой проявляются 1-ый и 2-ой законы, назыв. инерциальной системой отсчета. Дифференциальные уравнения движения материальной точки: , в проекции на декартовы оси коорд.: , на оси естественного трехгранника: ma_t=åF_it; ma_n=åF_in; ma_b=åF_ib (a_b=0 – проекция ускорения на бинормаль), т.е. (r – радиус кривизны траектории в текущей точке). Вслучае плоского движения точки в полярных координатах: .

2. ВОПРОС №2 Две основные задачи динамики: первая задача динамики – зная закон движения точки, определить действующую на нее силу; вторая задача динамики (основная) – зная действующие на точку силы, определить закон движения точки. – дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки. Дважды интегрируя его, находим общее решение x=f(t,C₁,C₂).

Постоянные интегрирования C₁,C₂ ищут из начальных условий: t=0, x=x₀, =V_x=V₀, x=f(t,x₀,V₀) – частное решение – закон движения точки.

Вопрос №3 Колебательное движение материальной точки. Восстанавливающая сила (сила упругости) F_x= – cx, сила стремится вернуть точку в равновесное положение, "с" – коэффициент жесткости пружины = силе упругости при деформации, равной единице [Н/м]. Свободные колебания ; обозначив c/m=k², получаем – линейное однородное диффер-ное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение: z² + k²= 0, его корни мнимые, Þ общее решение дифф-ного уравнения будет x= C₁coskt + C₂sinkt, C₁,C₂ – постоянные интегрирования. Для их определения находим уравнение скоростей: = – kC₁sinkt + kC₂coskt, подставляем начальные условия в уравнения для х и , откуда С₁= х₀, С₂= /k, т.е. x= х₀coskt + ( /k)sinkt.

Можно обозначить С₁=Аsinb, C₂=Acosb Þ x=Asin(kt+b) – уравнение гармонических колебаний. А= –амплитуда, tgb=kx₀/ , b – начальная фаза свободных колебаний; – циклическая частота (угловая, собственная) колебаний; период: Т=2p/k=2p , k и Т не зависят от начальных условий – изохронность колебаний; амплитуда и начальная фаза зависят о начальных условий. Под действием постоянной силы Р происходит смещение центра колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения d_ст=Р/с. Если Р – сила тяжести, то Т=2p .

Вопрос №4 Затухающие колебания при действии R_x= – b сила сопротивления, пропорциональная скорости (вязкое трение). , обозначив b/m=2n, получаем:

, характеристическое уравнение: z² + 2nz + k²= 0, его корни:

z_1,2= . а) При n<k корни мнимыеÞ общее решение дифф.ур-ия имеет вид: , обозначив С₁=Аsinb, C₂=Acosb Þ x=Ae^-ntsin(kt+b). Множитель e^-nt показывает, что колебания затухающие. График заключен между двумя симметричными относительно оси t кривыми x=±Ae^-nt. Из начальных условий: , ; частота затухающих колебаний: k^*= ; период: , период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний (при небольших сопротивлениях Т^*»Т). Амплитуды колебаний уменьшаются: – декремент колебаний; –nT^*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.

Б) Апериодическое движение точки при n ³ k или b ³ 2 . При n > k корни характеристич-ого ур-я вещественны, общее решение: , обозначая С₁=(В₁+В₂)/2, С₂=(В₁-В₂)/2, (ch, sh – гиперболические косинус и синус), если ввести В₁= Аshb, В₂= Аchb, то – это уравнение не колебательного движения (апериодического), т.к. гиперболический синус не является периодической функцией. При n = k корни характеристич. ур-я вещественны, равны и отрицательны: z₁=z₂= – n, общее решение: , или , движение также апериодическое.

5 Вынужденные колебания с учетом и без учета сил сопротивления.

Если колебательная система подвеpгается воздействию внешней пеpиодической силы, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий хаpактеp. Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе пpедполагается специальный механизм, котоpый в такт с собственными колебаниями "поставляет" в систему небольшие поpции энеpгии из некотоpого pезеpвуаpа энеpгии. Тем самым поддеpживаются собственные колебания котоpые не затухают. В случае автоколебаний система как бы сама себя подталкивает. Пpимеpом автоколебательной системы могут служить часы. Часы снабжены хpаповым механизмом, с помощью котоpого маятник получает небольшие толчки (от сжатой пpужины) в такт собственным колебаниям. В случае вынужденных колебаний система подталкивается постоpонней силой. Ниже мы остановимся на этом случае, пpедполагая, что сопpотивление в системе невелико и им можно пpенебpечь. В качестве модели вынужденных колебаний будем иметь в виду то же тело, подвешенное на пpужине, на котоpое действует внешняя пеpиодическая сила (напpимеp, сила, имеющая электpомагнитную пpиpоду). Без учета сопpотивления уpавнение движения такого тела в пpоекции на ось х имеет вид:

и уpавнение вынужденных колебаний можно пpедставить в виде

6 вопрос Относительное движение м.т.

Второй закон динамики в подвижной системе координат.

Существование инерциальных систем отсчета лишь постулируется первым законом Ньютона. Реальные системы отсчета, связанные, например, с Землей или с Солнцем, не обладают в полной мере свойством инерциальности в силу их кругового движения. Вообще говоря, экспериментально доказать существование ИСО невозможно, поскольку для этого необходимо наличие свободного тела (тела на которое не действуют никакие силы), а то, что тело является свободным, может быть показано лишь в ИСО. Описание же движения в неинерциальных системах отсчета, движущихся с ускорением относительно инерциальных, требует введения т. н. фиктивных сил таких как сила инерции, центробежная сила или сила Кориолиса. Эти «силы» не обусловлены взаимодействием тел, то есть по своей природе не являются силами и вводятся лишь для сохранения формы второго закона Ньютона:

,

где — сумма всех фиктивных сил, возникающих в неинерциальной системе отсчета.

Силы инерции:

переносная и кориолисова. В НИСО ускорения, которые не связаны с силами такого же характера, какие известны в ИСО. В НИСО, так же как и в инерциальных, ускорения высываются силами, но наряду с «обычными» силами взаимодействия $ ещё и силы особой природы, называеммые силами инерции. 2-ой з-н Ньютона формулируется без изменения, но наряду с силами взаимодействия необходимо учесть силы инерции. Силы инерции берутся такими, чтобы обеспечить в НИСО те условия, которые фактически имеются. 2-ой з-н Ньютона в НИСО: ma’=F+Fин., где a’ — ускорение в НИСО, F — «обычные силы», Fин — силы инерции. Переносная сила инерции направлена противоположно переносному ускорению НИСО и равна Fин= — ma0. Рассмотрим силы инерции во вращающейся СК:

Fин=m(a’—a)=m(—a0—aK)=mw2R—2m[w v’]=Fцб+FК. Fцб= mw2R — центробежная сила инерции. FК=—2m[w v’] — сила инерции связанная с кориолисовым ускорением называется силой Кориолиса. Она перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы угловой и онтосительной скоростей. Если эти векторы колинеарны, то Кориолисово ускорение рауно 0.

7 Теорема о движении центра масс материальной системы в векторной и скалярной формах. Следствия из теоремы.

8 Количество движения м.т. и материальной системы. Теорема об изменении главного вектора количества движения в дифференциальной форме и в конечной (для м.т. и материальной системы).

поступательное движение тела

Если точка массой m, находясь под действием постоянной силы F в течение t сек, двигается прямолинейно, то теорема об изменении количества движения выражается формулой

(1)

mv - mv0 = Ft,

где разность mv-mv0 – величина изменения проекции количества движения на ось, совпадающую с направлением движения, а произведение Ft – проекция импульса силы на ту же ось.

В СИ количество движения и импульс силы измеряются в ньютон-секундах (Н*с).

Если, рассматривая действие силы F на материальную точку массой m, учитывать не продолжительность ее действия, а протяженность, т. е. то расстояние, на котором действует сила, то получим теорему об изменении кинетической энергии точки):

(2)

mv2/2 - mv02/2 = A,

где A – работа всех сил, приложенных к точке, а mv02/2 и mv2/2 – кинетическая энергия точки соответственно в начале и конце действия сил.

Кинетическая энергия измеряется единицами работы, т. е. в СИ – в джоулях (Дж).

Необходимость введения двух динамических характеристик объясняется тем, что одна характеристика не отражает все особенности движения точки. Например, зная количество движения автомобиля (т. е. величину mv, а не величины m и v в отдельности) и действующую на него при торможении силу, можно определить, через сколько секунд автомобиль остановится, но по этим данным нельзя найти пройденный за время торможения путь. Наоборот, зная начальную кинетическую энергию автомобиля и тормозящую силу, можно определить тормозной путь, но по этим данным нельзя найти время торможения.

Если же в задаче заданы и масса точки, и ее скорость, то в принципе можно использовать для решения любую из теорем, но при этом необходимо иметь в виду, что для определения времени движения целесообразно использовать теорему об изменении количества движения, а для определения пройденного пути – теорему об изменении кинетической энергии.

Уравнения (1) и (2) применимы также и при рассмотрении поступательно движущихся тел. В этом случае любое твердое тело отождествляется с материальной точкой, имеющей массу всего тела и расположенной в его центре массы или в точке, совпадающей с центром тяжести тела.

Дата добавления: 2015-10-28