Величина углового ускорения равна

(8)

Сравнивая знаки производных φ' и φ'', можно определить является ли вращение ускоренным или замедленным. Когда производные имеют одинаковые знаки (положительные или отрицательные), угловая скорость возрастает, вращение является ускоренным; когда их знаки разные, угловая скорость уменьшается, вращение будет замедленным. Направление углового ускорения указывается дуговой стрелкой с обозначением ε. При ускоренном вращении угловое ускорение совпадает с направлением вращения, а при замедленном вращении угловое ускорение направлено противоположно вращению. На рис. 72, b показано замедленное вращение, когда φ' > 0, а φ'' < 0.

Угловое ускорение в формуле (7) является мгновенным угловым ускорением в момент времени t. Отношение Δw / Δt называется средним угловым ускорением за промежуток времени Δt. Размерностью углового ускорения будет радиан за секунду в квадрате, внесистемными единицами могут быть градус за секунду в квадрате и т.

9. Скорость и ускорение точки вращающегося тела вокруг неподвижной оси (формулы и рисунок).

В этом случае для определения скоростей и ускорений всех точек тела нам нужно найти скорость и ускорение только одной точки тела.

Для этого на рис. 73 покажем вид сверху на рис. 72, b и перейдем к естественному способу задания движения точки C тела. Начало отсчета будет в точке пересечения O1 окружности радиуса R с осью Ox, от которой отсчитывается угол поворота φ, а положительное направление отсчета дуговой координаты будет направлено в сторону увеличения угла поворота. Тогда положение точки C тела на ее траектории (окружности) определяется дуговой координатой s = RΔ, а скорость и ускорение точки выражаются в виде

(9)

(10)

Согласно формулам (9) и (10), величины этих векторов равны

(11)

(12)

(13)

Так как касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу, единичный вектор τR, а единичный вектор n направлен по радиусу вращения к оси вращения от точки C к точке O. Следовательно, вектор an будет также направлен по радиусу вращения к оси вращения s'2 / R = R φ'2 > 0. Векторы V и aτ будут перпендикулярны радиусу вращения:

(14)

Вектор V направлен в сторону вращения, которую указывает стрелка угловой скорости, а вектор aτ - в сторону стрелки углового ускорения, так как знаки производных от угла поворота определяют знаки производных дуговой координаты (R > 0). На рис. 73 изображен случай замедленного вращения, когда φ' > 0, φ'' < 0, и соответственно, s' > 0, s'' < 0.

Итак:

1. Величина вектора скорости любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению величины угловой скорости тела на радиус вращения точки; вектор скорости перпендикулярен радиусу вращения и направлен в сторону вращения.

2. Величина вектора касательного ускорения равна произведению величины углового ускорения на радиус вращения; вектор касательного ускорения перпендикулярен радиусу вращения и направлен в сторону стрелки углового ускорения.

3. Величина вектора нормального ускорения равна произведению квадрата величины угловой скорости на радиус вращения; вектор нормального ускорения направлен по радиусу вращения всегда от точки к оси вращения.

Величина вектора ускорения точки, которое часто называют полным ускорением, равна

(15)

Вектор полного ускорения отклонен от радиуса вращения на угол β, который определяется из формулы

10. Поступательное движение т.т. Теорема о скоростях и ускорения точек т.т.

При поступательном движении любая прямая, проведенная в твердом теле, движется параллельно самой себе.

На рис. 71 изображено тело в момент времени t. Положение трех его точек A, B, C в системе отсчета определяется тремя радиус-векторами rA, rB и rC. За время Δt тело переместится, и точки займут новые положения A', B', C'. Так как при поступательном движении стороны треугольника ABC двигаются параллельно самим себе, то A'B' // AB, B'C' // BC и A'C' // AC. Поэтому приращения радиус-векторов или элементарные перемещения трех точек твердого тела, а следовательно, и всех его точек, будут равны между собой как стороны параллелограммов, то есть

(1)

Это может быть только тогда, когда траектории точек тела являются одинаковыми кривыми. Вспомнив формулу нахождения скорости

мы видим из выражения (1), что скорости трех точек, а следовательно, и всех точек твердого тела, одинаковы, то есть

(2)

Дифференцируя по времени выражение (2) мы докажем, что одинаковы и ускорения всех точек тела:

(3)

Таким образом, при поступательном движении твердого тела одинаковы траектории, скорости и ускорения всех его точек.

Поэтому твердое тело в поступательном движении можно принять за материальную точку и использовать при исследовании движения твердого тела законы кинематики точки. В частности, твердое тело в поступательном движении имеет столько же степеней свободы, как и материальная точка. Если материальная точка свободная, то тело, которое принято за точку, имеет три степени свободы, которые в кинематике твердого тела называются поступательными степенями свободы.

11. Сложное движение м.т. Относительное, переносное и абсолютное движения м.т. Теорема о сложении скоростей – определение абсолютной скорости точки.

Основные понятия и определения.

Рассмотрим простейший случай, когда движение точки исследуется в двух системах координат, одну из которых Oxyz мы примем за неподвижную, а вторую - Ax1y1z1 считаем подвижной (рис. 104).

Движение точки относительно неподвижной системы координат называется абсолютным движением точки.

Движение точки относительно подвижной системы координат называется относительным движением точки. Все параметры относительного движения точки пишутся с подстрочным индексом r (от латинского relativus - относительный), например, относительная скорость точки - r.

Движение подвижной системы координат в неподвижной системе координат называется переносным движением.

Для выделения переносного движения точки используют прием остановки или замораживания. Точку мысленно останавливают в подвижной системе координат (вмораживают в подвижную систему координат) и наблюдают, как подвижная система координат переносит точку относительно неподвижной системы координат. Это и будет переносным движением точки.

Все параметры переносного движения и переносного движения точки пишутся с подстрочным индексом e (от латинского entraner - увлекать за собой), например, угловая скорость вращения подвижной системы координат в неподвижной - ωe, или переносная скорость точки - e.

Прием останова можно использовать и для выделения относительного движения точки, мысленно останавливая переносное движение подвижной системы координат в неподвижной.

Дата добавления: 2015-10-28