Формула Байеса.

Формула Байеса применяется, когда событие A, которое может появиться только с одной из гипотез B₁, B₂, … B_n, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез P(B₁), P(B₂), … P(B_n), известных до испытания. По существу необходимо найти условную вероятность P_A(B_k) для каждой гипотезы.

Пример 4: В группе 10 студентов, пришедших на экзамен. Трое подготовлены отлично, 4–хорошо, 2–посредственно, 1–плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо подготовленный – на 5. Вызванный наугад студент ответил на 3 заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1) отлично, 2) плохо.

Решение. Пусть событие A состоит в том, что вызванный наугад студент ответил на 3 заданных вопроса. Рассмотрим полную группу событий:

1. B₁–студент подготовлен отлично,

2. B₂–студент подготовлен хорошо,

3. B₃–студент подготовлен посредственно,

4. B₄–студент подготовлен плохо.

Вероятности этих событий равны: P(B₁)=0,3, P(B₂)=0,4, P(B₃)=0,2, P(B₄)=0,1. Найдем условные вероятности:

По формуле Байеса переоценим вероятности соответствующих гипотез:

5.3.Самостоятельная работа по теме:

решение типовых задач по теме занятия.

5.4.Итоговый контроль знаний:

1. ответы на вопросы по теме занятия;

2. решение ситуационных задач, тестовых заданий по теме.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте критерий независимости событий. Приведите примеры.

2. Как определить вероятность появления хотя бы одного события?

3. Что называется гипотезой?

4. Сформулируйте теорему полной вероятности. Объясните смысл входящих в нее вероятностей.

5. Запишите формулу Байеса и объясните когда она применяется.

6. Где применяется формула Байеса в медицине?

При изучении данной темы студент должен:

Ситуационные задачи по теме:

1. Сколько нужно иметь детей, чтобы вероятность рождения хотя бы одной девочки была больше 90% (вероятность рождения мальчика и девочки–0,5).

2. В терапевтическом отделении 70% пациентов–женщины, а 21%–курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Какова вероятность, что он курящий мужчина?

3. В группе туристов 20% детей, из них 12%–девочки. Наугад выбирают ребенка. Какова вероятность, что это: а) девочка, б) мальчик?

4. В санатории 40%–мужчины и 60%–женщины. Болезни сердца среди мужчин встречаются в два раза чаще. чем у женщин. Какова вероятность, что наугад выбранный пациент–сердечник?

5. Партия лекарственных препаратов изготовлена тремя фирмами, причем первая изготовила 20% всей продукции, вторая–35%, а третья–45%. В продукции первой фирмы брак составляет 5%, второй –4%, и третьей –2%. Случайно выбранная упаковка оказалась бракованной. Какова вероятность, что это продукция первой фирмы?

6.Домашнее задание для уяснения темы занятия (ответить на контрольные вопросы и тестовые задания, решить ситуационные задачи по теме«Повторные независимые испытания», см. методические указания для обучающихся, к внеаудиторной работе, тема № 5).

7. Список тем по НИРС:

Применение алгоритма Байеса в автоматических системах обеспечения принятия решения врача (АСОРВ).

Дата добавления: 2015-07-08