Условные вероятности. Независимость событий.

Рассмотрим вопрос о том, как определить вероятность какого–либо события А при условии, что уже произошло другое событие В.

Пусть, для примера, брошена игральная кость и нам неизвестен результат, однако известно, что выпало четное число очков. Мы же хотим, располагая этой информацией, найти вероятность того, что выпало число больше трех. Речь, следовательно, идет об условной вероятности события А= { выпало число больше трех }при условии, что произошло событие В= { выпало четное число } (обозначается Р(А/В)).

Поскольку нам известно, что выпало либо 2, либо 4, либо 6 очков и эти исходы равновозможны, а в такой ситуации событию А благоприятствуют лишь исходы 4 и 6, естественно считать, что P (A/B)= 2/3. Формально это можно объяснить следующим образом: так как событие B произошло, мы в качестве нового пространства элементарных исходов берем все исходы, которые принадлежат В, а благоприятствующими наступлению событию А считаем исходы, входящие в А и В одновременно.

Таким образом, по формуле классической вероятности:

Принимая во внимание то, что последнее равенство можно переписать в виде:

приходим к следующему определению.

Условная вероятность события А при условии, что произошло событие В с P(B)>0, задается формулой:

В уже рассмотренном примере , как и было сказано.

Формула умножения вероятностей для зависимых событий:

Пример 1. В ящике m белых и n черных шаров. Какова вероятность вытащить подряд два белых шара?

Решение. Событие, вероятность которого требуется вычислить, можно представить в виде произведения событий AB, где A={ первый шар белый }, B={ второй шар белый }. Вероятность события A равна , условная вероятность , (если A произошло, то в ящике осталось (m–1) белых шаров, а всего – (m+n–1) шаров). Остается воспользоваться формулой умножения вероятностей:

Тот же результат может быть получен с помощью формулы сочетаний:

Формулу умножения вероятностей можно обобщить на случай n произвольных событий

Если с обытия A и B – независимые, то

Отсюда и из формулы умножения вероятностей следует, что и , т.е. вероятность наступления события A не зависит от того, произошло B или нет (и наоборот). Так, если в ситуации примера 1, вытащив белый шар, вернуть его в ящик, то .

Определение. События называются взаимно-независимыми, если для любого набора индексов выполняется равенство

Следствие. Если события , , ….., взаимно–независимы, то

С помощью этой формулы можно сосчитать вероятность наступления хотя бы одного из n взаимно–независимых событий.

Отметим, что понятие независимости отвечает всем интуитивным представлениям о ней. В частности, если независимы события A и B, то независимы также события A и , и и т.д.

Пример 2. Некоторая вакцина эффективна на 70% в формировании иммунитета. Вакцинировали 2–х человек. Пусть A и B – независимые события, состоящие в том, что соответственно первый и второй человек приобретает иммунитет. Найти вероятность того, что:

а) оба человека приобрели иммунитет,

б) первый приобрел иммунитет, а второй нет,

в) оба не приобрели иммунитета.

Решение.

а)

б)

в)

Дата добавления: 2015-07-08