Занятие № 3.

Тема: «Основные теоремы теории вероятностей».

2.Форма организации занятия: Практическое занятие.

3.Значение изучения темы:

Тема «Основные теоремы теории вероятностей» является основополагающей при изучении теории вероятностей. Знание основных теорем позволяет студентам вычислять вероятности сложных событий.

Цели обучения.

Общая цель: (обучающийся должен обладать ОК-1, ОК-5).

Учебная цель:

на основе теоретических знаний и практических умений студент должен:

· знать определение вероятности зависимых событий;

· знать теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий;

· владеть методами определения вероятности случайных событий используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

5. План изучения темы:

Контроль исходного уровня знаний (тестирование).

Тестовые задания по теме:

Выберите один правильный ответ

1. В корзине 4 белых шара, 2 синих и 4 красных. Вероятность извлечения цветного шара равна

1) 0,2

2) 0,4

3) 0,6

4) 0,8

2. На столе находятся 15 ампул с новокаином, 25 – с пенициллином и 10 – с лидокаином. Вероятность того, что наугад выбранная ампула окажется ампулой с пенициллином или лидокаином, равна

1) 0,1

2) 0,15

3) 0,25

4) 0,7

3. Из 40 деталей в ящике 5 бракованных. Вероятность того, что взятые одновременно две детали не будут бракованными равна

1) 0,016

2) 0,255

3) 0,744

4) 0,766

4. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии - 0,2, на втором - 0,35, на третьем - 0,15. Вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий получит высокие дивиденды равна

1) 0,0105

2) 0,4265

3) 0,558

4) 0,7

5. Одновременно подбрасываются две монеты. Вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет цифра

1) 0,25

2) 0,5

3) 0,75

4) 1

6. Теорема сложения для несовместных событий имеет вид:

1) P(A+B)= P(A)+P(B)

2) Р(А+B)=Р(А)РА(В1)+Р(А)РА(В2)

3) P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB)

4) P(A+B)= P(A)+P(B)+P(AB)

7. Теорема сложения для совместных событий имеет вид:

1) P(A+B)= P(A)+P(B)

2) Р(А+B)=Р(А)РА(В1)+Р(А)РА(В2)

3) P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB)

4) P(A+B)= P(A)+P(B)+P(AB)

8. Теорема умножения для независимых событий имеет вид:

1) P(AB)= P(A)P(B)

2) Р(АB)=0

3) P(AB)= P(A)P(B)-P(AB)

4) P(AB)= P(A)P(B/A)

9. Теорема умножения для зависимых событий имеет вид:

1) P(AB)= P(A)P(B)

2) Р(АB)=0

3) P(AB)= P(A)P(B)-P(AB)

4) P(AB)= P(A)P(B/A)

10. Вероятность произведения двух несовместных событий равна:

1) P(AB)= P(A) P(B)

2) Р(АB)=0

3) P(AB)= P(A)P(B)-P(AB)

4) P(AB)= P(A)P(B/A)

Основные понятия и положения темы

Основные теоремы теории вероятностей.

Теорема 1. Вероятность появленияодного из двухнесовместныхсобытий А и В, безразлично какого, равнасуммеих вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Следствие: Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу равна 1.

Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(A₂)+…+P(A_n)=1

Дляпротивоположныхсобытий:

Пример: В урне 10 белых, 5 красных и 3 синих шара. Какова вероятность вынуть цветной шар?

Решение: Пусть событие А заключается в том, что вынут белый шар, событие В–красный шар, событие С–синий шар. В урне 18 шаров. Цветной шар – либо красный, либо синий, следовательно:

Теорема 2: Вероятность появленияодного из двух совместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ)

Пример: Подбрасываются две монеты. Найти вероятность, что хотя бы на одной монете выпадет герб.

Решение: Вероятность того, что на одной монете выпадет герб, равна 1/2. События совместные, следовательно:

P(A)=1/2+1/2–1/2×1/2=3/4

Теорема 3: Вероятностьсовместного появлениядвух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ)=Р(А)×Р(В)

Следствие: Вероятность произведения n независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁)Р(А₂)…Р(А_n)

Пример: Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,7. Какова вероятность попасть при трех выстрелах?

Решение: События независимые, следовательно Р(А₁А₂А₃)=0,7×0,7×0,7=0,343

Теорема 4: Вероятность наступления хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n равна разности между единицей и вероятностью произведения отрицаний этих событий:

Следствие: Если события А₁, А₂, …, А_n независимы и имеют одинаковую вероятность появиться р, то вероятность появления хотя бы одного из них равна: P(A)=1–qⁿ, где q=1–p.

Пример: Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,7. Какова вероятность попасть хотя бы при одном выстреле из трех?

Решение: События независимые, следовательно Р(А)=1–0,3³=0,973.

5.3. Самостоятельная работа по теме:

решение типовых задач по теме занятия.

5.4.Итоговый контроль знаний:

1. ответы на вопросы по теме занятия;

2. решение ситуационных задач, тестовых заданий по теме.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных событий.

2. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.

3. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для независимых событий.

4. Чему равна вероятность зависимых событий?

5. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для зависимых событий.

Ситуационные задачи по теме:

1. Вероятность того, что при независимом осмотре первый врач допустит ошибку – 0,02, второй врач – 0,015, третий врач – 0,01. Какова вероятность, что ни один из врачей не допустит ошибки?

2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Произведено 4 выстрела. Какова вероятность, что будет 4 промаха.

3. Имеется два ящика, содержащих по 15 деталей. В первом ящике 10, во втором 8 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

4. В семье двое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика или девочки равновероятными, найти вероятность того, что в семье а)все мальчики, б)дети одного пола.

6. Пусть выигрыш по лотерейному билету оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из двух билетов выиграет хотя бы один?

6.Домашнее задание для уяснения темы занятия (ответить на контрольные вопросы и тестовые задания, решить ситуационные задачи по теме«Условная вероятность. Полная вероятность. Вероятность гипотез», см. методические указания для обучающихся, к внеаудиторной работе, тема №4).

7. Список тем по НИРС:

Вероятностный смысл законов наследственности (Менделя, Харди).

Дата добавления: 2015-07-08