Вторая интерполяционная формула Ньютона.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Пример.

Схема алгоритма интерполяции по Ньютону

Метод Ньютона. Листинг программы.

Список использованных источников.

Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования в окрестности конечного значения .

Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной . Построим полином следующего вида:

(5.29)

Используя обобщенную степень, получим:

. (5.30)

Найдем коэффициенты из условий . Эти условия равносильны

. (5.31)

Полагая в выражении (5.30), получим

. (5.32)

Чтобы найти коэффициент , составим первую конечную разность:

.

Полагая , получим:

.

Отсюда

. (5.33)

Из второй конечной разности

при находим:

.

Следовательно,

. (5.34)

Продолжая дальнейшее вычисление конечных разностей, получим:

. (5.35)

Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (5.29), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:

(5.36)

Введем новую переменную

, (5.37)

тогда

(5.38)

С учетом (5.38) вторая интерполяционная формула Ньютона примет вид:

. (5.39)

Остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона:

, (5.40)

где - промежуточное значение между узлами интерполирования и точкой .

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи узлов таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

Описание задачи. Пусть имеем последовательность значений функции

,

для равноотстоящих значений аргумента , где - шаг интерполяции. По строим полином следующего вида:

,

или, используя обобщённую степень, получаем:

. (1)

Тогда, при выполнении равенства , , получим

, .

Подставим эти значения в формулу (1). Тогда, окончательно, вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

. (2)

Введём более удобную запись формулы (2). Пусть , тогда , и т. д. Подставив эти значения в формулу (2), получим:

. (3)

Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Ньютона. Для приближённого вычисления значений функции полагают:

.

Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции для значений аргументов , лежащих вне пределов таблицы. Если и близко к , то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причём тогда . Если же и близко к , то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причём . Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, - для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.

Заметим, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее точна, чем опера ция интерполирования в узком смысле слова.

Дата добавления: 2015-07-08