Пример. Приняв шаг , построить интерполяционный полином Ньютона для функции

Приняв шаг , построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей:

	0,5	0,55	0,6	0,65	0,7	0,75	0,8
	0,875	0,7088	0,5361	0,3572	0,173	-0,0156	-0,2081

Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1). Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем . Приняв , , будем иметь:

,

или

,

где

.

Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.

Таблица 1

0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

Схема алгоритма интерполяции по Ньютону

Метод Ньютона. Листинг программы.

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

type tip=array of real;

var x,y:tip;

i,j,n:byte;

p,s,xx,t,h:real;

kp:array of array of real;

begin

n:=edt.Count;

setlength(x,n);

setlength(y,n);

for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);

for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);

xx:=strtofloat(edt.Text);

edt.Lines.Delete(0);

setlength(kp,n,n);

for i:=0 to n-1 do for j:=0 to n-1 do kp[i,j]:=0;

for i:=0 to n-1 do kp[0,i]:=y[i];

for i:= 1 to n-1 do

for j:=0 to n-i-1 do

kp[i,j]:=kp[i-1,j+1]-kp[i-1,j];

for i:= 0 to n-1 do

begin

for j:=0 to n-1 do edt.writer(' ',kp[i,j],0);

edt.writer('',1);

end;

edt.writer('',1);

h:=0.5;

t:=(xx-x[0])/h;

s:=y[0];

for i:=1 to n-1 do

begin

p:=1;

for j:=0 to i-1 do p:=p*(t-j)/(j+1);

s:=s+p*kp[i,0];

end;

edt.writer('',s,1);;

end;

Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение функции в точке х=1.25.

xi		1.5		2.5		3.5
yi	0.5	2.2		1.8	0.5	2.25

Решение.

Построим таблицу конечных разностей в виде матрицы:

Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:

P_n(x)=y₀+tΔy₀+t(t-1)/2! Δ²y₀+...+t(t-1)...(t-n+1)/n!Δⁿy₀

Подставив значения получим многочлен пятой степени, упростив который получим:

P₅(x)=2.2x⁵-24x⁴+101.783x³-20.2x²+211.417x-80.7

Вычислим значение функции в точке x=1.25; P(1.25)=2.0488;

График функции имеет вид:

Дата добавления: 2015-07-08