Пример. Инвариантная форма дифференциала

Инвариантная форма дифференциала

I. определена на G; - независимые переменные.

Пусть на D функция f имеет непрерывные частные производные, тогда она дифференцируема и ее дифференциал

, (1)

где , т.е. - произвольные числа, не зависящие от .

II. Пусть , определены на G; - независимые переменные.

Пусть . Тогда на G определена сложная функция

. (2)

Пусть на соответствующих областях существуют непрерывные частные производные на G, на D.

Тогда непрерывные частные производные от сложной функции :

, (3)

. (4)

Тогда сложная функция (2) дифференцируема, ее дифференциал равен

, (5)

где - произвольные числа.

Из (3),(4),(5) следует, что

(6)

- дифференциал функции, не равный ,
- дифференциал функции, не равный .

Сравнив (1) и (6) можно сделать вывод. Дифференциал функции имеет одну и ту же форму относительно : как для случая, когда - функции других переменных, так и для случая, когда - функции других переменных. Хотя форма (1) инвариантна, но смысл символов - не один и тот же.

Если - независимые переменные, то - не зависят от (числа).

Если - функции, то - дифференциалы этих функций.

Итак, так как (1) инвариантна, то дифференциал функции всегда может быть записан в виде (1).

Замечание. Если - независимые переменные, то существуют 2 формы записи дифференциала:

Если - функции, то и

Лк (2ч)

Дата добавления: 2015-07-07