Читайте также:
|
|
Дифференциальное исчисление
Лк (2ч)
§1. Метрические пространства. Пространство
Раньше изучались функции одной переменной f (x), которые были определены на . Рассмотрим некоторые свойства множеств, на которых задаются функции нескольких переменных.
Множество { x, y }, состоящее из двух элементов, называется парой. Пара, как и любое множество, определяется своими элементами. Упорядоченная пара (x, y) определяется еще и порядком следования элементов, т.е. . Аналогично определяется упорядоченная тройка, четверка и т.д. Упорядоченный набор из n элементов обозначается
.
Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, содержащее все упорядоченные наборы
, где
, т.е.
.
Если , то
называется числовой плоскостью. Каждой упорядоченной паре чисел (x, y) соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка М (x, y), и наоборот, каждой точке на плоскости соответствует пара (x, y). Поэтому точка на плоскости отождествляется с упорядоченной парой.
Прямое произведение называется числовым трехмерным пространством.
- n-мерное пространство
.
Упорядоченный набор называется точкой пространства
, число
- i-й координатой этой точки.
Обозначается , М
.
В пространстве определяется сложение элементов, умножение элемента на действительное число. Пусть
,
:
1)
;
2) .
Пусть Е – непустое множество.
Определение. Метрикой (расстоянием) на множестве Е называется неотрицательная функция r = r (х, у)³0, определенная " х, у Î Е и удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам метрики):
1. r (х, у)=0 Û х = у (аксиома тождества);
2. r (х, у)= r (у, х) (аксиома симметрии);
3. r (х, z)£ r (х, у)+ r (у, z) (аксиома треугольника).
Определение. Множество Е с введенной на нем метрикой r называется метрическим пространством и обозначается (Е, r).
Т. о., метрическим пространством называется пара, состоящая из множества Е и метрики r на Е. Элементы метрического пространства Е называются его точками.
В пространстве метрика определяется следующим образом:
, (1)
где и
.
- метрическое пространство, n -мерное евклидово пространство (можно задать другую метрику
и получить
- другое метрическое пространство).
В случае n =1, т.е. в ,
; в случае n =2, т.е. в
,
.
Покажем, что расстояние в , определяемое формулой (1), удовлетворяет всем аксиомам метрики.
1) Û
.
2) r (х, у)= r (у, х), т.к. .
3) Пусть . Покажем, что
. (2)
Докажем вначале, что имеют место неравенства:
- неравенство Коши-Буняковского (3)
- Неравенство Минковского (4)
Доказательство (3).
Рассмотрим квадратный трехчлен относительно
:
.
Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим (3).
Доказательство (4).
(4) следует из (3). Рассмотрим
.
Извлекая корень из обеих частей, получим (4).
Полагая в неравенстве Минковского a = x-z, b = z-y, получим (2), т.е. аксиома 3 для r (х, у) выполнена.
Пусть - фиксированная точка,
.
Определение 1. n-мерным открытым шаром в пространстве
называется множество всех точек
, удовлетворяющих неравенству
:
.
Фиксированная точка a называется центром шара, число - радиусом шара.
При n =1, .
При n =2, - открытый круг с центром в точке а (а 1, а 2), радиусом e.
При n =3, - обычный шар (без ограничивающей его сферы) в трехмерном пространстве.
Определение 2. Замкнутый шар в -
.
Определение 3. Окрестностью точки называется любой открытый шар, содержащий эту точку.
Обозначается .
- проколотая окрестность точки а.
Пусть задано множество .
Определение 4. Точка a называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность точки а, целиком лежащая во множестве Е:
Совокупность всех внутренних точек множества Е называется внутренностью множества Е. Обозначается int E.
Например, .
Определение 5. Точка называется внешней точкой множества Е, если
, не содержащая ни одной точки множества Е.
Определение 6. Точка называется граничной точкой множества Е, если в любой окрестности точки а имеются как точки принадлежащие Е, так и точки не принадлежащие Е.
Граничная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству.
Определение 7. Точка называется предельной точкой множества Е, если в любой окрестности точки а содержится хотя бы одна точка множества Е, отличная от а.
Определение 8. Точка называется изолированной точкой множества Е, если она не является предельной точкой множества Е.
У изолированной точки а множества Е , не содержащая ни одной точки множества Е.
Пример. .
Внутренние точки (1;3),
внешние точки ,
граничные точки {1;3;7},
предельные точки [1;3],
изолированная точка {7}.
Теорема 1. Точка а - предельная точка множества Е тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки а содержится бесконечно много точек множества Е.
Определение 9. Множество Е называется открытым, если все его точки являются внутренними.
Определение 10. Множество Е называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Примеры. 1) (а;b),
- открытые множества,
2) [a;b], - замкнутые множества,
3) - открытые множества.
Определение 11. Множество называется дополнением множества Е.
Теорема 2. Если множество Е открыто, то СЕ – замкнуто, если множество Е замкнуто, то СЕ – открыто.
Определение 12. Множество Е называется ограниченным, если существует замкнутый шар, содержащий в себе множество Е: .
Теорема 3. Множество Е - ограничено
.
Определение 13. Непрерывной кривой L в пространстве , соединяющей точки
и
называется множество
, где функции
непрерывны на [ a; b ],
.
Определение 14. Множество Е называется связным (линейно связным), если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.
Определение 15. Множество называется областью, если оно открыто и связно.
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 371 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ И СИСТЕМЫ ОПЛАТЫ ТРУДА | | | Понятие функции нескольких переменных |