Читайте также:
|
|
1) x-6y+12=0, где ,
F(x;y)=x-6y+12. Разрешим уравнение относительно х:
- однозначная функция от х.
2)
F(x;y)=
. Данное уравнение представляет двузначную функцию
.
Если уравнение рассматривать на , то оно определяет однозначную функцию
.
3) не определяет функции y=f(x).
Из примеров видно, что уравнение F(x;y)=0 не всегда определяет функцию y=f(x) (кроме того, далеко не всегда уравнение (1) можно разрешить относительно y). Поэтому необходимо знать условия существования неявной функции.
Теорема 1.(достаточные условия существования и дифференцируемости неявной функции). Пусть дано уравнение F(x;y)=0 (1), и выполнены условия:
1) функция F(x;y) и ее частные производные определены и непрерывны в некотором прямоугольнике [x0-a, x0+a; y0-b, y0+b];
2) ;
3) .
Тогда справедливы следующие утверждения:
а) в некотором прямоугольнике (x0-d, x0+d; y0-d¢, y0+d¢) уравнение (1) определяет неявную функцию y=f(x);
б) f(x0)=y0;
в) функция y=f(x) непрерывна в промежутке [x0-d; x0+d];
г) функция y=f(x) в промежутке [x0-d; x0+d] имеет непрерывную производную, причем . (2)
(без доказательства)
Замечание 1. Формулу (2) можно получить следующим образом. Продифференцируем равенство F(x;f(x))º0 по x (F – сложная функция от x):
,
Þ (2)
Замечание 2. В уравнении (1) F(x;y)=0 переменные x и y равноправны. Следовательно, можно ставить вопрос о существовании функции . В этом случае в теореме (1) надо изменить условие 3) – требовать, чтобы
. Но если одновременно
, то нельзя утверждать, что уравнение (1) определяет какую-либо неявную функцию.
Пример 1.Вычислить производные первого и второго порядка функции, заданной неявно уравнением (x>0).
D .
1 способ вычисления - по формуле (9).
.
2 способ вычисления . Продифференцируем данное уравнение, учитывая, что оно определяет функцию у=у(х).
(*) ,
.
Найдем , учитывая, что у=у(х), а х – независимая переменная:
.
Далее надо преобразовать и подставить .
Второй способ вычисления - продифференцировать равенство (*).D
2. Уравнения касательной и нормали к кривой
Пусть дано уравнение (1) F(x;y)=0, и для функции F(x;y) в окрестности точки (х0;y0) выполнены условия теоремы 1. Тогда в окрестности точки х0 V(х0) уравнение (1) задает функцию у=f(х), определенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки х0 и f(х0)=y0. Графиком этой функции является некоторая кривая. Так как существует , то существует касательная и нормаль к кривой (1).
Для функции y=f(x) уравнение касательной точке х0 имеет вид:
, (3)
нормали: . (4)
Из теоремы 1 следует . (5)
Подставляя (5) в (3), (4), получим Þ
– уравнение касательной;
или
– уравнение нормали.
3. Неявные функции нескольких переменных
Пусть дано уравнение . (6)
- функция (n+1)-й переменной. Если в каждой точке
существует единственное значение y, которое совместно с x удовлетворяет уравнению (13), то уравнение (13) на множестве G определяет функцию n переменных
, (7)
и имеет место тождество на G.
Теорема 2(достаточное условие существования и дифференцируемости неявной функции n переменных). Пусть функция F и ее частные производные непрерывны в некоторой окрестности точки
, и пусть
, а
. Тогда уравнение (13) определяет функцию
определенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки
, причем
, а частные производные
находятся по формулам:
.
Рассмотрим частный случай. Пусть на дано уравнение
F(x;y;z)=0. (8)
Пусть это уравнение определяет неявную функцию z=f(x;y), дифференцируемую на , т.е. справедливо тождество (9) F(x;y;f(x;y))
0. Правая часть (9) – сложная функция от х и у. в силу условий теоремы 2 (существуют непрерывные
) эта функция дифференцируема на D. Дифференцируя (9) по x, получим:
.
Отсюда . (10)
Дифференцируя (9) по y, получим:
.
Отсюда . (11)
Пример 2. Пусть уравнение определяет функцию z=f(x;y). Найти
D .
По формулам (10), (11):
,
,
.
Подставляя сюда выражение для и заменяя z на f(x;y), найдем
.
Тогда . D
4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
Пусть уравнение (8) F(x;y;z)=0 определяет поверхность. Тогда (8) называется уравнением поверхности.
Пусть в окрестности (x0;y0;z0) выполняется условия теоремы 2. Тогда в окрестности точки (x0;y0) определена функция z=f(x;y), дифференцируемая в этой окрестности. Тогда поверхность z=f(x;y) имеет касательную плоскость и нормаль в точке (x0;y0).
– уравнение касательной плоскости,
– уравнение нормали.
Так как , то
–
уравнение касательной плоскости,
– уравнение нормали.
Неявные функции могут определяться системой функциональных уравнений.
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 150 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Производные и дифференциалы высших порядков | | | Экстремум функции нескольких переменных |