Примеры.

1) x- 6 y +12=0, где ,

F (x; y)= x- 6 y +12. Разрешим уравнение относительно х: - однозначная функция от х.

2)

F (x; y)= . Данное уравнение представляет двузначную функцию .

Если уравнение рассматривать на , то оно определяет однозначную функцию .

3) не определяет функции y = f (x).

Из примеров видно, что уравнение F (x; y)=0 не всегда определяет функцию y = f (x) (кроме того, далеко не всегда уравнение (1) можно разрешить относительно y). Поэтому необходимо знать условия существования неявной функции.

Теорема 1. (достаточные условия существования и дифференцируемости неявной функции). Пусть дано уравнение F (x; y)=0 (1), и выполнены условия:

1) функция F (x; y) и ее частные производные определены и непрерывны в некотором прямоугольнике [ x ₀ -a, x ₀+ a; y ₀ -b, y ₀+ b ];

2) ;

3) .

Тогда справедливы следующие утверждения:

а) в некотором прямоугольнике (x ₀ -d, x ₀+ d; y ₀ -d¢, y ₀+ d¢) уравнение (1) определяет неявную функцию y = f (x);

б) f (x ₀)= y ₀;

в) функция y = f (x) непрерывна в промежутке [ x ₀ -d; x ₀+ d ];

г) функция y = f (x) в промежутке [ x ₀ -d; x ₀+ d ] имеет непрерывную производную, причем . (2)

(без доказательства)

Замечание 1. Формулу (2) можно получить следующим образом. Продифференцируем равенство F (x;f (x))º0 по x (F – сложная функция от x):

,

Þ (2)

Замечание 2. В уравнении (1) F (x;y)=0 переменные x и y равноправны. Следовательно, можно ставить вопрос о существовании функции . В этом случае в теореме (1) надо изменить условие 3) – требовать, чтобы . Но если одновременно , то нельзя утверждать, что уравнение (1) определяет какую-либо неявную функцию.

Пример 1. Вычислить производные первого и второго порядка функции, заданной неявно уравнением (x >0).

D .

1 способ вычисления - по формуле (9).

.

2 способ вычисления . Продифференцируем данное уравнение, учитывая, что оно определяет функцию у = у (х).

(*) , .

Найдем , учитывая, что у = у (х), а х – независимая переменная:

.

Далее надо преобразовать и подставить .

Второй способ вычисления - продифференцировать равенство (*).D

2. Уравнения касательной и нормали к кривой

Пусть дано уравнение (1) F (x;y)=0, и для функции F (x;y) в окрестности точки (х ₀; y ₀) выполнены условия теоремы 1. Тогда в окрестности точки х ₀ V (х ₀) уравнение (1) задает функцию у = f (х), определенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки х ₀ и f (х ₀)= y ₀. Графиком этой функции является некоторая кривая. Так как существует , то существует касательная и нормаль к кривой (1).

Для функции y = f (x) уравнение касательной точке х ₀ имеет вид:

, (3)

нормали: . (4)

Из теоремы 1 следует . (5)

Подставляя (5) в (3), (4), получим Þ

– уравнение касательной;

или

– уравнение нормали.

3. Неявные функции нескольких переменных

Пусть дано уравнение . (6)

- функция (n +1)-й переменной. Если в каждой точке существует единственное значение y, которое совместно с x удовлетворяет уравнению (13), то уравнение (13) на множестве G определяет функцию n переменных , (7)

и имеет место тождество на G.

Теорема 2 (достаточное условие существования и дифференцируемости неявной функции n переменных). Пусть функция F и ее частные производные непрерывны в некоторой окрестности точки , и пусть , а . Тогда уравнение (13) определяет функцию определенную, непрерывную и дифференцируемую в некоторой окрестности точки , причем , а частные производные находятся по формулам:

.

Рассмотрим частный случай. Пусть на дано уравнение

F (x; y; z)=0. (8)

Пусть это уравнение определяет неявную функцию z = f (x; y), дифференцируемую на , т.е. справедливо тождество (9) F (x; y; f (x; y)) 0. Правая часть (9) – сложная функция от х и у. в силу условий теоремы 2 (существуют непрерывные ) эта функция дифференцируема на D. Дифференцируя (9) по x, получим:

.

Отсюда . (10)

Дифференцируя (9) по y, получим:

.

Отсюда . (11)

Пример 2. Пусть уравнение определяет функцию z = f (x; y). Найти

D .

По формулам (10), (11):

,

,

.

Подставляя сюда выражение для и заменяя z на f (x; y), найдем .

Тогда . D

4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Пусть уравнение (8) F (x; y; z)=0 определяет поверхность. Тогда (8) называется уравнением поверхности.

Пусть в окрестности (x ₀; y ₀; z ₀) выполняется условия теоремы 2. Тогда в окрестности точки (x ₀; y ₀) определена функция z = f (x; y), дифференцируемая в этой окрестности. Тогда поверхность z = f (x; y) имеет касательную плоскость и нормаль в точке (x ₀; y ₀).

– уравнение касательной плоскости,

– уравнение нормали.

Так как , то

–

уравнение касательной плоскости,

– уравнение нормали.

Неявные функции могут определяться системой функциональных уравнений.

Дата добавления: 2015-07-07