Экстремум функции нескольких переменных

1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия

Пусть функция z=f(x;y) задана в некоторой окрестности точки M₀(x₀;y₀) V(M₀).

Определение 1. Функция z=f(x;y) имеет в точке M₀(x₀;y₀)строгий максимум (строгий минимум), если , такая, что выполнено неравенство f(x;y)<f(х₀;y₀) (f(x;y)>f(х₀;y₀)).

Определение 2. Функция z=f(x;y) имеет в точке M₀(x₀;y₀)максимум (минимум), если , такая, что выполнено неравенство f(x;y)£f(х₀;y₀) (f(x;y)³f(х₀;y₀)).

Определение 3. Функция z=f(x;y) имеет в точке M₀(x₀;y₀)(строгий) экстремум, если она имеет в этой точке (строгий) максимум или (строгий) минимум.

Точку М₀ называют точкой (строгого) экстремума, а значение функции в ней, т.е. f(M₀) – (строгим) экстремумом.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Пусть функция z=f(x;y) достигает экстремума в точке M₀(x₀;y₀). Если в этой точке существуют частные производные и , то они в этой точке равны нулю, то есть =0 и =0.

Доказательство.

Пусть z=f(x;y) имеет в точке M₀(x₀;y₀) максимум. Тогда , такая, что выполнено

f(x;y)£f(х₀;y₀). (1)

Рассмотрим точки окрестности V_d(M₀), для которых y=y₀. На этом множестве точек, т.е. на , функция f(x;y) превращается в функцию f(x;y₀) одной переменной х. Из (1) следует, что f(x;y₀)£f(х₀;y₀) . Это означает, что функция одной переменной f(x;y₀)имеет в точке х₀ максимум. По условию . Она совпадает с в точке х₀, т.е = .На основании необходимого условия экстремума функции одной переменной =0. Следовательно, =0.

Аналогично, рассмотрим точки окрестности V_d(M₀), для которых х=х₀. На этом множестве точек, функция f(x;y) становится функцией f(x₀;y) одной переменной у. Из (1) следует, что f(x₀;y)£f(х₀;y₀) . Значит, функция одной переменной f(x₀;y)имеет в точке у₀ максимум.По необходимому условию экстремума функции одной переменной =0. Следовательно, =0.

Замечание. Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х₀;y₀), то условие равносильно условию df(х₀;y₀)=0.

Следствие. Если функция z=f(x;y) имеет экстремум в точке (х₀;y₀) и дифференцируема этой точке, то df(х₀;y₀)=0.

Определение 3. Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками функции z=f(x;y).

Определение 4. Точки, в которых частные производные равны нулю (или не существуют) называются критическими точками функции z=f(x;y).

Из теоремы 1 и определения 3 следует, что если функция дифференцируема, то точки экстремума являются стационарными точками. Обратное неверно. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пример. D Рассмотрим функцию z=f(x;y)=x²-y², f(0;0)=0.

, Þ (0;0) – стационарная точка.

Рассмотрим . На оси Ох f(x;0)=x²>0, на оси Оу f(0;y)=-y²<0. Следовательно, в любой окрестности есть значения функции, как большие f(0;0)=0, так и меньшие f(0;0)=0. Значит, точка (0;0) не может быть точкой экстремума. D

Теорема 2(достаточное условие экстремума). (без доказательства)

Пусть функция z=f(x;y) определена иимеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М₀(x₀;y₀) V(x₀;y₀). Пусть М₀(x₀;y₀) - стационарная точка, то есть и . Обозначим

.

Тогда

1) если то z=f(x;y) имеет в точке М₀(x₀;y₀) экстремум, причем при A<0 (C<0)- локальный максимум, при A>0 (C>0) - локальный минимум;

2) если , то точка М₀(x₀;y₀) не является точкой экстремума;

3) если , то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя, требуются дополнительные исследования.

Теорема 3. Пусть df(х₀;y₀)=0. Если d²f(х;y) сохраняет знак в некоторой достаточно малой окрестности точки (х₀;y₀), то в этой точке функция имеет строгий экстремум, причем, если d²f(х₀;y₀)<0, то строгий максимум, а если d²f(х₀;y₀)>0, то строгий минимум.

В таком виде достаточное условие экстремума переносится на случай функций любого числа переменных.

Пример 1. Исследовать функцию f(x;y)=xy(a-x-y), a>0 на экстремум.

D .

Найдем стационарные точки.

f¢_x=y(a-x-y)-xy=y(a-2x-y), f¢_y=x(a-x-y)-xy=x(a-x-2y)

Стационарные точки: О(0;0), М(а;0), N(0;a), .

Проверим, являются ли они точками экстремума.

, , .

О(0;0): А=0, В=а, С=0, АС-В²=0-а²<0 Þ экстремума нет;

М(а;0): А=0, В=-а, С=-2а, АС-В²=0-а²<0 Þ экстремума нет;

N(0;a): А=-2a, В=-а, С=0, АС-В²=0-а²<0 Þ экстремума нет;

: , , ,

Þ К – точка экстремума, т.к. A<0, то - точка максимума. D

2. Экстремум неявно заданной функции

Пусть уравнение F(x;y;z)=0задает неявно функцию z=f(x;y). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в . Если (х₀;у₀) – стационарная точка, то в ней выполнены равенства:

, ,

, .

Очевидно, верно и обратное утверждение. Следовательно, стационарные точки неявной функции могут быть найдены из системы:

Достаточное условие формулируется так же, как в случае явного задания функции.

3. Нахождение наибольших и наименьших значений

Пусть функция z=f(x;y) определена и дифференцируема на ограниченной замкнутой области G. Тогда она на имеет наибольшее и наименьшее значения. Если наибольшее (наименьшее) значение функция f принимает во внутренней точке области , то эта точка является точкой максимума (минимума). Т.о., ²подозрительными² точками внутри области являются стационарные точки. Но функция f может принимать наибольшее (наименьшее) значения и на границе области G.

План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

1. Найти стационарные точки внутри области и значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области и значения функции в них. Для этого границу области следует задать либо одним уравнением, либо параметрически. Тогда на границе исходная функция будет функцией одного переменного.

3. Если в области существуют точки, в которых функция не дифференцируема, то надо вычислить в них значения функции.

4. Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x;y)=2x²-2y² в круге х²+у²£9.

D 1) , Þ (0;0) – стационарная точка.

z₁=f(0;0)=0.

2) Граница области задана уравнением х²+у²=9. Отсюда у²=9-х². Тогда на границе получаем функцию одной переменной: z=2x²-2(9-х²), z=4х²-18, xÎ[-3;3].

z¢=8x, z¢=0 при х=0. Тогда у=±3. Значения функции в стационарных точках границы: z₂=f(0;3)=-18, z₃=f(0;-3)=-18.

Значения функции на концах отрезка [-3;3]: z₄=f(3;0)=18, z₅=f(-3;0)=18.

3) z_наиб.=f(3;0)=f(-3;0)=18, z_наим.=f(0;3)=f(0;-3)=-18. D

Дата добавления: 2015-07-07