Читайте также: |
|
1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия
Пусть функция z=f(x;y) задана в некоторой окрестности точки M0(x0;y0) V(M0).
Определение 1. Функция z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0)строгий максимум (строгий минимум), если , такая, что
выполнено неравенство f(x;y)<f(х0;y0) (f(x;y)>f(х0;y0)).
Определение 2. Функция z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0)максимум (минимум), если , такая, что
выполнено неравенство f(x;y)£f(х0;y0) (f(x;y)³f(х0;y0)).
Определение 3. Функция z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0)(строгий) экстремум, если она имеет в этой точке (строгий) максимум или (строгий) минимум.
Точку М0 называют точкой (строгого) экстремума, а значение функции в ней, т.е. f(M0) – (строгим) экстремумом.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Пусть функция z=f(x;y) достигает экстремума в точке M0(x0;y0). Если в этой точке существуют частные производные и
, то они в этой точке равны нулю, то есть
=0 и
=0.
Доказательство.
Пусть z=f(x;y) имеет в точке M0(x0;y0) максимум. Тогда
, такая, что
выполнено
f(x;y)£f(х0;y0). (1)
Рассмотрим точки окрестности Vd(M0), для которых y=y0. На этом множестве точек, т.е. на , функция f(x;y) превращается в функцию f(x;y0) одной переменной х. Из (1) следует, что f(x;y0)£f(х0;y0)
. Это означает, что функция одной переменной f(x;y0)имеет в точке х0 максимум. По условию
. Она совпадает с
в точке х0, т.е
=
.На основании необходимого условия экстремума функции одной переменной
=0. Следовательно,
=0.
Аналогично, рассмотрим точки окрестности Vd(M0), для которых х=х0. На этом множестве точек, функция f(x;y) становится функцией f(x0;y) одной переменной у. Из (1) следует, что f(x0;y)£f(х0;y0) . Значит, функция одной переменной f(x0;y)имеет в точке у0 максимум.По необходимому условию экстремума функции одной переменной
=0. Следовательно,
=0.
Замечание. Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;y0), то условие равносильно условию df(х0;y0)=0.
Следствие. Если функция z=f(x;y) имеет экстремум в точке (х0;y0) и дифференцируема этой точке, то df(х0;y0)=0.
Определение 3. Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками функции z=f(x;y).
Определение 4. Точки, в которых частные производные равны нулю (или не существуют) называются критическими точками функции z=f(x;y).
Из теоремы 1 и определения 3 следует, что если функция дифференцируема, то точки экстремума являются стационарными точками. Обратное неверно. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Пример. D Рассмотрим функцию z=f(x;y)=x2-y2, f(0;0)=0.
,
Þ (0;0) – стационарная точка.
Рассмотрим . На оси Ох f(x;0)=x2>0, на оси Оу f(0;y)=-y2<0. Следовательно, в любой окрестности
есть значения функции, как большие f(0;0)=0, так и меньшие f(0;0)=0. Значит, точка (0;0) не может быть точкой экстремума. D
Теорема 2(достаточное условие экстремума). (без доказательства)
Пусть функция z=f(x;y) определена иимеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0(x0;y0) V(x0;y0). Пусть М0(x0;y0) - стационарная точка, то есть и
. Обозначим
.
Тогда
1) если то z=f(x;y) имеет в точке М0(x0;y0) экстремум, причем при A<0 (C<0)- локальный максимум, при A>0 (C>0) - локальный минимум;
2) если , то точка М0(x0;y0) не является точкой экстремума;
3) если , то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя, требуются дополнительные исследования.
Теорема 3. Пусть df(х0;y0)=0. Если d2f(х;y) сохраняет знак в некоторой достаточно малой окрестности точки (х0;y0), то в этой точке функция имеет строгий экстремум, причем, если d2f(х0;y0)<0, то строгий максимум, а если d2f(х0;y0)>0, то строгий минимум.
В таком виде достаточное условие экстремума переносится на случай функций любого числа переменных.
Пример 1. Исследовать функцию f(x;y)=xy(a-x-y), a>0 на экстремум.
D .
Найдем стационарные точки.
f¢x=y(a-x-y)-xy=y(a-2x-y), f¢y=x(a-x-y)-xy=x(a-x-2y)
Стационарные точки: О(0;0), М(а;0), N(0;a), .
Проверим, являются ли они точками экстремума.
,
,
.
О(0;0): А=0, В=а, С=0, АС-В2=0-а2<0 Þ экстремума нет;
М(а;0): А=0, В=-а, С=-2а, АС-В2=0-а2<0 Þ экстремума нет;
N(0;a): А=-2a, В=-а, С=0, АС-В2=0-а2<0 Þ экстремума нет;
:
,
,
,
Þ К – точка экстремума, т.к. A<0, то
- точка максимума. D
2. Экстремум неявно заданной функции
Пусть уравнение F(x;y;z)=0задает неявно функцию z=f(x;y). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в
. Если (х0;у0) – стационарная точка, то в ней выполнены равенства:
,
,
,
.
Очевидно, верно и обратное утверждение. Следовательно, стационарные точки неявной функции могут быть найдены из системы:
Достаточное условие формулируется так же, как в случае явного задания функции.
3. Нахождение наибольших и наименьших значений
Пусть функция z=f(x;y) определена и дифференцируема на ограниченной замкнутой области G. Тогда она на имеет наибольшее и наименьшее значения. Если наибольшее (наименьшее) значение функция f принимает во внутренней точке области , то эта точка является точкой максимума (минимума). Т.о., ²подозрительными² точками внутри области являются стационарные точки. Но функция f может принимать наибольшее (наименьшее) значения и на границе области G.
План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
1. Найти стационарные точки внутри области и значения функции в них.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области и значения функции в них. Для этого границу области следует задать либо одним уравнением, либо параметрически. Тогда на границе исходная функция будет функцией одного переменного.
3. Если в области существуют точки, в которых функция не дифференцируема, то надо вычислить в них значения функции.
4. Из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x;y)=2x2-2y2 в круге х2+у2£9.
D 1) ,
Þ (0;0) – стационарная точка.
z1=f(0;0)=0.
2) Граница области задана уравнением х2+у2=9. Отсюда у2=9-х2. Тогда на границе получаем функцию одной переменной: z=2x2-2(9-х2), z=4х2-18, xÎ[-3;3].
z¢=8x, z¢=0 при х=0. Тогда у=±3. Значения функции в стационарных точках границы: z2=f(0;3)=-18, z3=f(0;-3)=-18.
Значения функции на концах отрезка [-3;3]: z4=f(3;0)=18, z5=f(-3;0)=18.
3) zнаиб.=f(3;0)=f(-3;0)=18, zнаим.=f(0;3)=f(0;-3)=-18. D
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 527 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Примеры. | | | Криволинейные интегралы II типа |