Функции нескольких переменных

Лк (2ч)

1. Понятие частных производных

Рассмотрим вначале случай функции двух переменных. Пусть функция z=f(x,y) определена на открытом множестве , (х₀,у₀) – внутренняя точка множества G.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции z=f(x,y) по переменной х в точке (х₀,у₀) и обозначается , , , .

Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции z=f(x,y) по переменной у в точке (х₀,у₀) и обозначается , , , .

Итак, = , = .

Из определения следует, что частная производная функции z=f(x,y) по переменной х в точке (х₀,у₀) является обычной производной функции одной переменной f(х,у₀) в точке х₀. Если функция z=f(x,y) имеет частную производную в каждой точке (х,у)ÎG, то говорят, что частная производная существует на G. В этом случае каждой точке (х,у)ÎG соответствует число . Этим на множестве G определяются две функции , которые обозначаются и , и называются частными производными функции f на множестве G. Т.к. частная производная функции f определяется как обычная производная функции одной переменной х (или у), получаемой из f фиксированием другой переменной у (или х), то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций нескольких переменных.

Пример 1. Найти частные производные функции .

D .

,

. D

Аналогично определяются частные производные функции трех и большего числа переменных.

Пусть функция u=f(x₁,x₂,…x_n) определена на открытом множестве , - внутренняя точка множества G.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции u=f(x₁,x₂,…x_n) по переменной x_j в точке и обозначается , , , .

Геометрический смысл частных производных

Пусть функция z=f(x,y) определена на множестве . Рассмотрим поверхность z=f(x,y), являющуюся графиком этой функции. Пусть точка M₀(x₀,y₀,z₀) принадлежит поверхности. Проведем через точку M₀ плоскость x=x₀, параллельную плоскости yOz. Кривая z=f(x₀,y) является линией пересечения поверхности и плоскости. Частная производная данной функции по переменной у совпадает с производной функции f(x₀,y) в точке у=у₀:

.

Следовательно, равна угловому коэффициенту касательной к кривой z=f(x₀,y) в точке M₀(x₀,y₀,z₀). , где a - угол между касательной и положительным направлением оси Оу.

2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных

Пусть функция z=f(x,y) определена на множестве , (х₀,у₀) – внутренняя точка множества G. Придадим значениям х₀ и у₀ приращения Dх и Dу, одновременно не равные нулю, так, что точка (х₀+Dх,у₀+Dу)ÎG. Тогда полное приращение функции Dz=f(х₀+Dх,у₀+Dу)-f(х₀,у₀).

Определение. Пусть функция z=f(x,y) определена на множестве . Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (х₀,у₀)ÎG, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Dz=АDх+ВDу+aDх+bDу, (1)

где А, В - постоянные, a=a(Dx,Dy), b=b(Dx,Dy)- бесконечно малые функции.

Полное приращение дифференцируемой функции можно записать также в виде:

Dz=АDх+ВDу+e×r, (2)

где , .

Покажем, что (1)эквивалентно (2).

1) (1)Þ(2). Т. к. первые два слагаемых одинаковые, то надо показать, что aDх+bDу можно представить в виде e×r (с выполнением соответствующих условий).

, где .

, (*)

т.к. .

Пусть , тогда Dx®0, Dy®0. Значит, по условию, a®0, b®0. Следовательно, в силу неравенства (*), e®0. Итак, e®0 при r®0.

2) (2)Þ(1). ,

где .

. (**)

Пусть Dx®0, Dy®0. Тогда r®0. Отсюда, по условию, e®0. А, значит, в силу неравенств (**), a®0, b®0.

Итак, условия (1) и (2) эквивалентны.

Замечание. Т.к. , то e×r=o(r) при r®0, и (2) можно записать в виде

Dz=АDх+ВDу+o(r). (3)

Определение. Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀). Дифференциалом функции f в точке (х₀,у₀). Называется линейная относительно Dx и Dy часть полного приращения функции в точке (х₀,у₀).

Обозначается dz, df(х₀,у₀).

dz=АDх+ВDу. (4)

Т.о., Dz=dz+aDх+bDу или Dz=dz+o(r). (5)

Т.к. Dz-dz=o(r), то Dz и dz одного порядка малости при r®0. Из (5) также следует, что dz¹0 – главная часть полного приращения функции при r®0. Т.о., дифференциал обладает двумя свойствами:

Загрузка...

1) является линейной частью приращения функции;

2) если dz¹0, то он является главной частью полного приращения при r®0.

Из второго свойства следует применение дифференциала к приближенным вычислениям:

Df(х₀,у₀)»df(х₀,у₀) при r®0,

f(х₀+Dх,у₀+Dу)=f(х,у)»f(х₀,у₀)+df(х₀,у₀).

Теорема 1 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀). Тогда ее полное приращение может быть представлено в виде (1)

Dz=АDх+ВDу+aDх+bDу,

где А, В - постоянные, .

Пусть Dx®0, Dy®0. Тогда a®0, b®0, и, значит, Df(х₀,у₀)®0. Т.е. бесконечно малым приращениям аргументов в точке (х₀,у₀) соответствует бесконечно малое полное приращение функции. Следовательно, по определению, функция z=f(x,y) непрерывна в точке (х₀,у₀).

Лк (2ч)

Теорема 2(необходимое условие дифференцируемости). Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀), то в этой точке существуют конечные частные производные , , и имеет место равенство:

, (6)

т.е. всегда .

Доказательство.

Т.к. функция дифференцируема в точке (х₀,у₀), то имеет место (1). Пусть х₀ получает приращение Dх¹0, а у₀ остается неизменным, т.е. Dу=0. Тогда

.

Обозначим , . Тогда

.

Разделим обе части этого равенства на Dх¹0: .

Т.к. существует предел правой части при Dх®0: , то существует и предел левой части: , и эти пределы равны:

=А.

Аналогично доказывается, что =В.

Замечание 1. Теорема, обратная к теореме 1, неверна. Функция, непрерывная в точке (х₀,у₀), может быть не дифференцируема в ней.

Пример 3.z=f(x,y)=|x|.

D , функция непрерывна на .

Покажем, что функция дифференцируема везде, кроме точек оси Оу. Зафиксируем "у₀.

Следовательно, не существует. Из теоремы 2 следует, что функция не дифференцируема на оси Оу. D

Замечание 2. Теорема, обратная к теореме 2, не имеет места. Функция f(x,y), имеющая частные производные и , может и не быть дифференцируемой в точке (х₀,у₀).

Теорема 3(достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Пусть функция f(x,y) в некоторой окрестности точки (х₀,у₀) имеет частные производные и , которые непрерывны в точке (х₀,у₀). Тогда функция f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀).

Доказательство.

Пусть функция f(x,y) и ее частные производные и определены в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀): .

Придадим х₀, у₀ произвольные приращения Dх и Dу, не равные нулю одновременно и такие, чтобы . Тогда функция f получит приращение , которое можно представить в виде:

(1)

Первая скобка является частным приращением по переменной х функции f(x,y) в точке ; вторая скобка является частным приращением функции f(x,y) по переменной у в точке (х₀,у₀). Т. к. первая скобка является приращением функции одной переменной в точке х₀, а вторая - приращением функции одной переменной в точке у₀, то к ним можно применить теорему Лагранжа.

В силу условия функция имеет производную на , а функция имеет производную на .Тогда применяя теорему Лагранжа, получим

= , (8)

, . (9)

Подставим (8) и (9) в (7):

, .

Добавим и вычтем справа и :

. (10)

Обозначим , ,

, .

Тогда . Если доказать, что при , то функция f(x,y) будет дифференцируема в точке (х₀,у₀) по определению.

Пусть . Так как , то , , . Тогда в силу непрерывности частных производных в точке (х₀,у₀)

, .

Следовательно, , . По определению функция f(x,y) дифференцируема в точке (х₀,у₀).

Лк (2ч)

Дифференцирование сложной функции

Пусть функция определена на D, определены на G=<a,b>.

Если , то на G определена функция - сложная функция одной переменной t (1)

Теорема 1Если конечные производные в точке и непрерывные частные производные в соответствующей точке , то производная от сложной функции (1) в точке t и она может быть найдена по формуле

(2)

Доказательство.

Придавая точке t приращение получим . Тогда x и y получат соответствующие приращения и . Тогда получит приращение в соответствующей точке .

Так как в точке имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке, и поэтому ее приращение можно записать в виде

, где . (3)

Разделим (3) на :

(4)

Пусть . Так как функции и дифференцируема в точке t, то они непрерывны в этой точке. Тогда если , то
, .

Все это значит, что правая часть (4) имеет предел ( при ), равный

.

Тогда существует предел и левой части (4) при , равный .

Переходя в (4) к пределу при , получим (2).

Теорема 1 справедлива для открытой области D и промежутка G.

Частный случай: , то есть .

Тогда

Дата добавления: 2015-07-07