Функции нескольких переменных

Лк (2ч)

1. Понятие частных производных

Рассмотрим вначале случай функции двух переменных. Пусть функция z = f (x, y) определена на открытом множестве , (х ₀, у ₀) – внутренняя точка множества G.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции z = f (x, y) по переменной х в точке (х ₀, у ₀) и обозначается , , , .

Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции z = f (x, y) по переменной у в точке (х ₀, у ₀) и обозначается , , , .

Итак, = , = .

Из определения следует, что частная производная функции z = f (x, y) по переменной х в точке (х ₀, у ₀) является обычной производной функции одной переменной f (х, у ₀) в точке х₀. Если функция z = f (x, y) имеет частную производную в каждой точке (х, у)Î G, то говорят, что частная производная существует на G. В этом случае каждой точке (х, у)Î G соответствует число . Этим на множестве G определяются две функции, которые обозначаются и , и называются частными производными функции f на множестве G. Т.к. частная производная функции f определяется как обычная производная функции одной переменной х (или у), получаемой из f фиксированием другой переменной у (или х), то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций нескольких переменных.

Пример 1. Найти частные производные функции .

D .

,

. D

Аналогично определяются частные производные функции трех и большего числа переменных.

Пусть функция u = f (x ₁, x ₂,… x_n) определена на открытом множестве , - внутренняя точка множества G.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции u = f (x ₁, x ₂,… x_n) по переменной x_j в точке и обозначается , , , .

Геометрический смысл частных производных

Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве . Рассмотрим поверхность z = f (x, y), являющуюся графиком этой функции. Пусть точка M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) принадлежит поверхности. Проведем через точку M ₀ плоскость x = x ₀, параллельную плоскости y O z. Кривая z = f (x ₀, y) является линией пересечения поверхности и плоскости. Частная производная данной функции по переменной у совпадает с производной функции f (x ₀, y) в точке у = у ₀:

.

Следовательно, равна угловому коэффициенту касательной к кривой z = f (x ₀, y) в точке M ₀(x ₀, y ₀, z ₀). , где a - угол между касательной и положительным направлением оси О у.

2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных

Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве , (х ₀, у ₀) – внутренняя точка множества G. Придадим значениям х ₀ и у ₀ приращения D х и D у, одновременно не равные нулю, так, что точка (х ₀+D х, у ₀+D у)Î G. Тогда полное приращение функции D z = f (х ₀+D х, у ₀+D у) -f (х ₀, у ₀).

Определение. Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве . Функция f (x, y) называется дифференцируемой в точке (х ₀, у ₀)Î G, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

D z = А D х + В D у + a D х + b D у, (1)

где А, В - постоянные, a=a (D x,D y), b=b (D x,D y)- бесконечно малые функции.

Полное приращение дифференцируемой функции можно записать также в виде:

D z = А D х + В D у + e × r, (2)

где , .

Покажем, что (1)эквивалентно (2).

1) (1)Þ(2). Т. к. первые два слагаемых одинаковые, то надо показать, что a D х + b D у можно представить в виде e × r (с выполнением соответствующих условий).

, где .

, (*)

т.к. .

Пусть , тогда D x ®0, D y ®0. Значит, по условию, a ®0, b ®0. Следовательно, в силу неравенства (*), e ®0. Итак, e ®0 при r ®0.

2) (2)Þ(1). ,

где .

. (**)

Пусть D x ®0, D y ®0. Тогда r ®0. Отсюда, по условию, e ®0. А, значит, в силу неравенств (**), a ®0, b ®0.

Итак, условия (1) и (2) эквивалентны.

Замечание. Т.к. , то e × r = o (r) при r ®0, и (2) можно записать в виде

D z = А D х + В D у + o (r). (3)

Определение. Пусть функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀). Дифференциалом функции f в точке (х ₀, у ₀). Называется линейная относительно D x и D y часть полного приращения функции в точке (х ₀, у ₀).

Обозначается dz, df (х ₀, у ₀).

dz = А D х + В D у. (4)

Т.о., D z = dz + a D х + b D у или D z = dz + o (r). (5)

Т.к. D z-dz = o (r), то D z и dz одного порядка малости при r ®0. Из (5) также следует, что dz ¹0 – главная часть полного приращения функции при r ®0. Т.о., дифференциал обладает двумя свойствами:

1) является линейной частью приращения функции;

2) если dz ¹0, то он является главной частью полного приращения при r ®0.

Из второго свойства следует применение дифференциала к приближенным вычислениям:

D f (х ₀, у ₀)» df (х ₀, у ₀) при r ®0,

f (х ₀+D х, у ₀+D у)= f (х, у)» f (х ₀, у ₀)+ df (х ₀, у ₀).

Теорема 1 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Пусть функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀). Тогда ее полное приращение может быть представлено в виде (1)

D z = А D х + В D у + a D х + b D у,

где А, В - постоянные, .

Пусть D x ®0, D y ®0. Тогда a ®0, b ®0, и, значит, D f (х ₀, у ₀)®0. Т.е. бесконечно малым приращениям аргументов в точке (х ₀, у ₀) соответствует бесконечно малое полное приращение функции. Следовательно, по определению, функция z = f (x, y) непрерывна в точке (х ₀, у ₀).

Лк (2ч)

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), то в этой точке существуют конечные частные производные , , и имеет место равенство:

, (6)

т.е. всегда .

Доказательство.

Т.к. функция дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), то имеет место (1). Пусть х ₀ получает приращение D х ¹0, а у ₀ остается неизменным, т.е. D у =0. Тогда

.

Обозначим , . Тогда

.

Разделим обе части этого равенства на D х ¹0: .

Т.к. существует предел правой части при D х ®0: , то существует и предел левой части: , и эти пределы равны:

= А.

Аналогично доказывается, что = В.

Замечание 1. Теорема, обратная к теореме 1, неверна. Функция, непрерывная в точке (х ₀, у ₀), может быть не дифференцируема в ней.

Пример 3. z = f (x, y)=| x |.

D , функция непрерывна на .

Покажем, что функция дифференцируема везде, кроме точек оси О у. Зафиксируем " у ₀.

Следовательно, не существует. Из теоремы 2 следует, что функция не дифференцируема на оси О у. D

Замечание 2. Теорема, обратная к теореме 2, не имеет места. Функция f (x, y), имеющая частные производные и , может и не быть дифференцируемой в точке (х ₀, у ₀).

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Пусть функция f (x, y) в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀) имеет частные производные и , которые непрерывны в точке (х ₀, у ₀). Тогда функция f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀).

Доказательство.

Пусть функция f (x, y) и ее частные производные и определены в некоторой окрестности точки М ₀(х ₀, у ₀): .

Придадим х ₀, у ₀ произвольные приращения D х и D у, не равные нулю одновременно и такие, чтобы . Тогда функция f получит приращение , которое можно представить в виде:

(1)

Первая скобка является частным приращением по переменной х функции f (x, y) в точке ; вторая скобка является частным приращением функции f (x, y) по переменной у в точке (х ₀, у ₀). Т. к. первая скобка является приращением функции одной переменной в точке х ₀, а вторая - приращением функции одной переменной в точке у ₀, то к ним можно применить теорему Лагранжа.

В силу условия функция имеет производную на , а функция имеет производную на .Тогда применяя теорему Лагранжа, получим

= , (8)

, . (9)

Подставим (8) и (9) в (7):

, .

Добавим и вычтем справа и :

. (10)

Обозначим , ,

, .

Тогда . Если доказать, что при , то функция f (x, y) будет дифференцируема в точке (х ₀, у ₀) по определению.

Пусть . Так как , то , , . Тогда в силу непрерывности частных производных в точке (х ₀, у ₀)

, .

Следовательно, , . По определению функция f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀).

Лк (2ч)

Дифференцирование сложной функции

Пусть функция определена на D, определены на G=<a,b>.

Если , то на G определена функция - сложная функция одной переменной t (1)

Теорема 1 Если конечные производные в точке и непрерывные частные производные в соответствующей точке , то производная от сложной функции (1) в точке t и она может быть найдена по формуле

(2)

Доказательство.

Придавая точке t приращение получим . Тогда x и y получат соответствующие приращения и . Тогда получит приращение в соответствующей точке .

Так как в точке имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке, и поэтому ее приращение можно записать в виде

, где . (3)

Разделим (3) на :

(4)

Пусть . Так как функции и дифференцируема в точке t, то они непрерывны в этой точке. Тогда если , то
, .

Все это значит, что правая часть (4) имеет предел (при ), равный

.

Тогда существует предел и левой части (4) при , равный .

Переходя в (4) к пределу при , получим (2).

Теорема 1 справедлива для открытой области D и промежутка G.

Частный случай: , то есть .

Тогда

Дата добавления: 2015-07-07