Читайте также: |
|
Лк (2ч)
1. Понятие частных производных
Рассмотрим вначале случай функции двух переменных. Пусть функция z = f (x, y) определена на открытом множестве , (х 0, у 0) – внутренняя точка множества G.
Определение. Если существует конечный предел
,
то он называется частной производной функции z = f (x, y) по переменной х в точке (х 0, у 0) и обозначается ,
,
,
.
Если существует конечный предел
,
то он называется частной производной функции z = f (x, y) по переменной у в точке (х 0, у 0) и обозначается ,
,
,
.
Итак, =
,
=
.
Из определения следует, что частная производная функции z = f (x, y) по переменной х в точке (х 0, у 0) является обычной производной функции одной переменной f (х, у 0) в точке х0. Если функция z = f (x, y) имеет частную производную в каждой точке (х, у)Î G, то говорят, что частная производная существует на G. В этом случае каждой точке (х, у)Î G соответствует число
. Этим на множестве G определяются две функции, которые обозначаются
и
, и называются частными производными функции f на множестве G. Т.к. частная производная
функции f определяется как обычная производная функции одной переменной х (или у), получаемой из f фиксированием другой переменной у (или х), то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций нескольких переменных.
Пример 1. Найти частные производные функции .
D
.
,
. D
Аналогично определяются частные производные функции трех и большего числа переменных.
Пусть функция u = f (x 1, x 2,… xn) определена на открытом множестве ,
- внутренняя точка множества G.
Определение. Если существует конечный предел
,
то он называется частной производной функции u = f (x 1, x 2,… xn) по переменной xj в точке и обозначается
,
,
,
.
Геометрический смысл частных производных
Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве
. Рассмотрим поверхность z = f (x, y), являющуюся графиком этой функции. Пусть точка M 0(x 0, y 0, z 0) принадлежит поверхности. Проведем через точку M 0 плоскость x = x 0, параллельную плоскости y O z. Кривая z = f (x 0, y) является линией пересечения поверхности и плоскости. Частная производная данной функции по переменной у совпадает с производной функции f (x 0, y) в точке у = у 0:
.
Следовательно, равна угловому коэффициенту касательной к кривой z = f (x 0, y) в точке M 0(x 0, y 0, z 0).
, где a - угол между касательной и положительным направлением оси О у.
2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных
Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве , (х 0, у 0) – внутренняя точка множества G. Придадим значениям х 0 и у 0 приращения D х и D у, одновременно не равные нулю, так, что точка (х 0+D х, у 0+D у)Î G. Тогда полное приращение функции D z = f (х 0+D х, у 0+D у) -f (х 0, у 0).
Определение. Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве . Функция f (x, y) называется дифференцируемой в точке (х 0, у 0)Î G, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
D z = А D х + В D у + a D х + b D у, (1)
где А, В - постоянные, a=a (D x,D y), b=b (D x,D y)- бесконечно малые функции.
Полное приращение дифференцируемой функции можно записать также в виде:
D z = А D х + В D у + e × r, (2)
где ,
.
Покажем, что (1)эквивалентно (2).
1) (1)Þ(2). Т. к. первые два слагаемых одинаковые, то надо показать, что a D х + b D у можно представить в виде e × r (с выполнением соответствующих условий).
, где
.
, (*)
т.к. .
Пусть , тогда D x ®0, D y ®0. Значит, по условию, a ®0, b ®0. Следовательно, в силу неравенства (*), e ®0. Итак, e ®0 при r ®0.
2) (2)Þ(1). ,
где .
. (**)
Пусть D x ®0, D y ®0. Тогда r ®0. Отсюда, по условию, e ®0. А, значит, в силу неравенств (**), a ®0, b ®0.
Итак, условия (1) и (2) эквивалентны.
Замечание. Т.к. , то e × r = o (r) при r ®0, и (2) можно записать в виде
D z = А D х + В D у + o (r). (3)
Определение. Пусть функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х 0, у 0). Дифференциалом функции f в точке (х 0, у 0). Называется линейная относительно D x и D y часть полного приращения функции в точке (х 0, у 0).
Обозначается dz, df (х 0, у 0).
dz = А D х + В D у. (4)
Т.о., D z = dz + a D х + b D у или D z = dz + o (r). (5)
Т.к. D z-dz = o (r), то D z и dz одного порядка малости при r ®0. Из (5) также следует, что dz ¹0 – главная часть полного приращения функции при r ®0. Т.о., дифференциал обладает двумя свойствами:
1) является линейной частью приращения функции;
2) если dz ¹0, то он является главной частью полного приращения при r ®0.
Из второго свойства следует применение дифференциала к приближенным вычислениям:
D f (х 0, у 0)» df (х 0, у 0) при r ®0,
f (х 0+D х, у 0+D у)= f (х, у)» f (х 0, у 0)+ df (х 0, у 0).
Теорема 1 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х 0, у 0), то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Пусть функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х 0, у 0). Тогда ее полное приращение может быть представлено в виде (1)
D z = А D х + В D у + a D х + b D у,
где А, В - постоянные, .
Пусть D x ®0, D y ®0. Тогда a ®0, b ®0, и, значит, D f (х 0, у 0)®0. Т.е. бесконечно малым приращениям аргументов в точке (х 0, у 0) соответствует бесконечно малое полное приращение функции. Следовательно, по определению, функция z = f (x, y) непрерывна в точке (х 0, у 0).
Лк (2ч)
Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х 0, у 0), то в этой точке существуют конечные частные производные ,
, и имеет место равенство:
, (6)
т.е. всегда .
Доказательство.
Т.к. функция дифференцируема в точке (х 0, у 0), то имеет место (1). Пусть х 0 получает приращение D х ¹0, а у 0 остается неизменным, т.е. D у =0. Тогда
.
Обозначим ,
. Тогда
.
Разделим обе части этого равенства на D х ¹0: .
Т.к. существует предел правой части при D х ®0: , то существует и предел левой части:
, и эти пределы равны:
= А.
Аналогично доказывается, что = В.
Замечание 1. Теорема, обратная к теореме 1, неверна. Функция, непрерывная в точке (х 0, у 0), может быть не дифференцируема в ней.
Пример 3. z = f (x, y)=| x |.
D , функция непрерывна на
.
Покажем, что функция дифференцируема везде, кроме точек оси О у. Зафиксируем " у 0.
Следовательно, не существует. Из теоремы 2 следует, что функция не дифференцируема на оси О у. D
Замечание 2. Теорема, обратная к теореме 2, не имеет места. Функция f (x, y), имеющая частные производные и
, может и не быть дифференцируемой в точке (х 0, у 0).
Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Пусть функция f (x, y) в некоторой окрестности точки (х 0, у 0) имеет частные производные и
, которые непрерывны в точке (х 0, у 0). Тогда функция f (x, y) дифференцируема в точке (х 0, у 0).
Доказательство.
Пусть функция f (x, y) и ее частные производные
и
определены в некоторой окрестности точки М 0(х 0, у 0):
.
Придадим х 0, у 0 произвольные приращения D х и D у, не равные нулю одновременно и такие, чтобы . Тогда функция f получит приращение
, которое можно представить в виде:
(1)
Первая скобка является частным приращением по переменной х функции f (x, y) в точке ; вторая скобка является частным приращением функции f (x, y) по переменной у в точке (х 0, у 0). Т. к. первая скобка является приращением функции одной переменной
в точке х 0, а вторая - приращением функции одной переменной
в точке у 0, то к ним можно применить теорему Лагранжа.
В силу условия функция имеет производную на
, а функция
имеет производную на
.Тогда применяя теорему Лагранжа, получим
=
, (8)
,
. (9)
Подставим (8) и (9) в (7):
,
.
Добавим и вычтем справа и
:
. (10)
Обозначим ,
,
,
.
Тогда . Если доказать, что
при
, то функция f (x, y) будет дифференцируема в точке (х 0, у 0) по определению.
Пусть . Так как
, то
,
,
. Тогда в силу непрерывности частных производных в точке (х 0, у 0)
,
.
Следовательно, ,
. По определению функция f (x, y) дифференцируема в точке (х 0, у 0).
Лк (2ч)
Дифференцирование сложной функции
Пусть функция определена на D,
определены на G=<a,b>.
Если , то на G определена функция
- сложная функция одной переменной t (1)
Теорема 1 Если конечные производные
в точке
и непрерывные частные производные
в соответствующей точке
, то
производная
от сложной функции (1) в точке t и она может быть найдена по формуле
(2)
Доказательство.
Придавая точке t приращение
получим
. Тогда x и y получат соответствующие приращения
и
. Тогда
получит приращение
в соответствующей точке
.
Так как в точке
имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке, и поэтому ее приращение можно записать в виде
, где
. (3)
Разделим (3) на :
(4)
Пусть . Так как функции
и
дифференцируема в точке t, то они непрерывны в этой точке. Тогда если
, то
,
.
Все это значит, что правая часть (4) имеет предел (при ), равный
.
Тогда существует предел и левой части (4) при , равный
.
Переходя в (4) к пределу при , получим (2).
Теорема 1 справедлива для открытой области D и промежутка G.
Частный случай: , то есть
.
Тогда
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 366 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Предел и непрерывность функции двух переменных | | | Пример. |