Производные и дифференциалы высших порядков

1. Частные производные высших порядков

Пусть функция z = f (x, y) задана на области G. Пусть на G существуют частные производные и . Они называются частными производными первого порядка функции f. Эти производные на G являются функциями от x и y: , . Они тоже могут иметь частные производные G. Частные производные этих функций φ и ψ называются частными производными второго порядка функции f:

,

,

,

.

Частные производные и взяты по различным переменным, они называются смешанными. Если частные производные второго порядка определены на G, то они сами являются функциями от x и y и могут иметь частные производные по этим переменным. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка функции f и обозначаются:

(8 штук, 6 смешанных).

Аналогично определяются частные производные и более высоких порядков. Если известны частные производные (n -1)-го порядка, то частные производные от этих частных производных называются частными производными п-го порядка и обозначаются:

Т.о., частные производные высших порядков определяются индуктивно, т.е. последовательно, начиная от первой.

Частные производные и взяты по одним и тем же переменным, но в разном порядке. Они не обязательно равны!

Теорема 1. Пусть функция z = f (x, y) и ее частные производные определены в некоторой окрестности точки (х ₀; у ₀), и в этой точке и непрерывны. Тогда .

Доказательство (на оценку ²отлично²).

Придадим значениям х ₀ и у ₀ приращения Δ х и Δ у так, чтобы точка (х ₀+Δ х; у ₀+Δ у) находилась в окрестности точки (х ₀; у ₀). Составим выражение

.

Чтобы легче запомнить, как строится выражение, рассмотрим прямоугольник АBСD с вершинами А (х ₀+Δ х; у ₀+Δ у), B (х ₀+Δ х; у ₀), С (х ₀; у ₀), D (х ₀; у ₀+Δ у). Тогда числитель равен алгебраической сумме значений функции f (x, y) в вершинах прямоугольника, причем значение в точке А берется со знаком «+», и при обходе прямоугольника против часовой стрелки знаки перед остальными слагаемыми чередуются.

Введем вспомогательную функцию

.

Здесь числитель равен разности значений функции f (x, y) в точках сторон АD и В С с одинаковыми абсциссами. Тогда ω можно записать в виде:

=

.

По условию существует , значит, существует и

.

Т.к. функция φ (х) дифференцируема на отрезке [ x ₀; x ₀+Δ x ], то она непрерывна на этом отрезке. Следовательно, к ней можно применить формулу Лагранжа:

= , где . (1)

Т.к. по условию существует и , то к функции , как к функции от у, на отрезке [ у ₀; у ₀+Δ у ] можно тоже применить формулу Лагранжа:

, (2)

где . Тогда из (1) и (2) следует

, где . (3)

Теперь вместо функции φ (х) рассмотрим функцию

.

Тогда

=

.

Применим формулу Лагранжа к функции ψ (у)на отрезке [ у ₀; у ₀+Δ у ]:

,

а затем к функции , как к функции от х, на отрезке [ x ₀; x ₀+Δ x ]:

, где . (4)

Из соотношений (3), (4) следует

. (5)

Пусть . Тогда

,
.

Т.к. по условию и непрерывны в точке (х ₀; у ₀), то

и

.

Тогда, переходя в равенстве (5) к пределу при , получим

.

Замечание. Утверждение, аналогичное теореме 1, может быть доказано и для смешанных производных любого порядка. Т.е. смешанные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования, например,

.

Теорема 2. Если смешанные производные n – го порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, непрерывны на области G, то они на этой области равны.

2. Дифференциалы высших порядков

Пусть z = f (x; y), где х, у – независимые переменные, определена на области G и имеет на этой области непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема, и ее дифференциал равен

, где dx =Δ x, dy =Δ y.

Следовательно, dz – функция четырех переменных: х, у, dx, dy. Зафиксируем dx и dy. Тогда dz = φ (x; y). Если функция f на G имеет непрерывные частные производные второго порядка, то функция dz = φ (x; y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она дифференцируема на G и имеет дифференциал.

Определение. Дифференциалом второго порядка d ² z функции z = f (x; y) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка dz:

d ² z = d (dz).

.

Т.к. , то

. (6)

Символическая запись второго дифференциала: .

Если функция f на G имеет непрерывные частные производные третьего порядка, то функция d ² z = ψ (x; y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она имеет дифференциал. Дифференциал от этой функции называется дифференциалом третьего порядка функции z = f (x; y) и обозначается d ³ z. Таким образом,

.

Символическая запись: .

Если функция f на G имеет непрерывные частные производные n -го порядка, то на G существует дифференциал n -го порядка, и он определяется с. о.: dⁿz = d (d^{n- 1} z).

.

Форма (6) записи дифференциала второго порядка неинвариантна, т. е не пригодна в случае, когда x и y являются функциями. Дифференциалы высших порядков также не обладают свойством инвариантности формы.

3. Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция F (t) в некоторой окрестности V (t ₀) имеет производные до (n +1)-го порядка включительно. Тогда справедлива формула Тейлора:

. (7)

Обозначим t-t ₀=Δ t, F (t) -F (t ₀)=Δ F (t ₀),

F' (t ₀)(t-t ₀)= F' (t ₀)Δ t = dF (t ₀),

F'' (t ₀)(t-t ₀)²= F'' (t ₀)(Δ t)²= d ² F (t ₀) и т.д.

Тогда (7) можно записать в виде

, где 0< θ <1. (8)

В виде (8) формула Тейлора распространяется и на случай функций нескольких переменных.

Теорема. Пусть функция z = f (x; y), где х, у – независимые переменные, определена и имеет непрерывные частные производные до (n +1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки М (х ₀; y ₀) V_δ (х ₀; y ₀). Тогда "Δ х, Δ у, удовлетворяющих условию , имеет место формула Тейлора:

, где 0< θ <1.

(без доказательства)

Формула Тейлора имеет большое значение при вычислении приращений и значений функции с большой степенью точности.

Дата добавления: 2015-07-07