Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Предел и непрерывность функции двух переменных

Читайте также:
  1. B) которые могут быть в пределах одной и той же личности;
  2. I. Общее распределение по полу, возрасту, национальности, месту рожде­ния и детства, общему обучению
  3. I. Определение группы.
  4. I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОБЛЕМЫ МЕТОДА
  5. I. Определение и проблемы метода
  6. I.1 . Конкурентоспособность частного предприятия здравоохранения, факторы ее определяющие.
  7. II. Основные задачи и функции

Лк (2ч)

1. Понятие предела функции двух переменных

Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве . Пусть М 0(х 0, у 0) – предельная точка множества G.

Определение 1 (по Коши). Число А называется пределом функции f (x, y) в точке М 0(х 0, у 0), если " e >0 $ d = d (e)>0: " M (x, yG: 0< r (M 0, M)< d выполнено неравенство | f (x, y) -A |< e.

Обозначается или .

Напомним, что в .

Определение 2 (по Гейне). Число А называется пределом функции f (x, y) в точке М 0(х 0, у 0), если для произвольной последовательности точек { Mn (xn, yn)}, Mn Î G, Mn ¹ M 0 " n Î , таких что выполнено .

Равносильность этих определений доказывается аналогично случаю функции одной действительной переменной.

Аналогично вводится понятие предела функции n действительных переменных.

Для предела функции n переменных справедливы все свойства предела функции одной переменной.

Пример 1. Вычислить .

D Т. к. функции 3 ху и х 2 у являются бесконечно малыми при х ®1, у ®0, то tg3 xy ~3 xy, sin x 2 y ~ x 2 y. Тогда

.D

Пример 2. Доказать, что функция не имеет предела в точке О(0;0).

D . Т.о., (0;0) – предельная точка D (f). Покажем, что не существует.

1 способ. Пусть М (х; у)®О(0;0) по прямой у = kx, проходящей через точку О. Тогда

.

Т.о., приближаясь к точке О(0;0) по различным прямым, соответствующим различным значениям k, получаем, что функция стремится к различным значениям. Например, при k =0, т.е. приближаясь к точке О(0;0) по оси О х =0; при k =1, т.е. приближаясь к О(0;0) по прямой у=х и т.д. Следовательно, не существует.

2 способ. Рассмотрим две различные последовательности точек, стремящиеся к О(0;0).

Первая последовательность по положительной части оси О х. Тогда .

Вторая последовательность по направлению биссектрисы первого координатного угла (по прямой у=х). Тогда

.

Т.о., двум различным последовательностям точек, стремящимся к О(0;0) по разным направлениям, соответствуют две последовательности значений функции, имеющие разные пределы. Согласно определению предела функции по Гейне это означает, что функция не имеет предела в точке (0;0).D

Пример 3. Найти .

D Перейдем к полярным координатам с центром в точке О(0;0):

,

т.к. функция - бесконечно малаяпри r ®¥, а функция (cos j +sin j) ограничена.D

2. Повторные пределы

Для функций нескольких переменных наряду с обычным понятием предела функции (при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам) вводится понятие повторного предела, получаемого в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. (Обычный предел функции n переменных называется n -кратным: двойным, тройным и т.д.)

Рассмотрим случай функции двух переменных. Пусть функция определена в области G. Пусть область G такова, что х может принимать (независимо от у) любые значения в некотором множестве Х, для которого х 0 – предельная точка, а переменная у (независимо от х) изменяется на множестве Y. Тогда G можно символически обозначить G = X ´ Y. При фиксированном значении переменной у функция f (x; y) становится функцией одной переменной х. Если при фиксированном y Î Y существует , то, вообще говоря, этот предел зависит от наперед зафиксированного у: . Теперь можно рассматривать . Пусть он существует и равен А: =А. Тогда говорят, что в точке (х 0; у 0) существует повторный предел функции f (x; y)

. (1)

При этом называется внутренним пределом в повторном пределе (1).

Другой повторный предел

(2)

получится, если предельные переходы произвести в обратном порядке. В (2) внутренний предел - .

Повторные пределы (1) и (2) вовсе не обязательно равны.

Всякая перестановка двух предельных переходов по разным переменным должна быть обоснована. Одно из таких обоснований дает следующая теорема. Она также устанавливает связь между двойными и повторными пределами. Вообще говоря, из существования двойного предела не следует существование повторных пределов, и из существования повторных не следует существование двойного.

Теорема. Пусть в точке (х 0; у 0) существует (конечный или бесконечный) двойной предел , а также " y Î Y существует внутренний предел . Тогда существует повторный предел . Аналогично, если $ , и " х Î Х существует внутренний предел , то существует повторный предел = А.

Если $ и оба внутренних предела, то существуют и оба повторных предела, и .

Замечание. Обратное утверждение неверно. Если существуют и равны оба повторных предела, то двойной не обязательно существует.

Пример 6. .

D ,

,

,

но не существует (см. пример 2). D

 

3. Непрерывность функции n переменных

Определение 1. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M 0(x 0; y 0), если она определена в некоторой окрестности этой точки, и предел функции равен значению функции в этой точке:

. (1)

Аналогично определяется непрерывность в точке функции n переменных.

Обозначим х = х 0+D х, у = у 0+D у. Тогда (1) можно переписать с. о.:

или .

Величина называется полным приращением функции z = f (x, y) в точке (x 0; y 0). Т. о., получаем эквивалентное определение непрерывности функции в точке.

Определение 2. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M 0(x 0; y 0), если бесконечно малым приращениям аргументов х и у соответствует бесконечно малое полное приращение функции: .

Если переменную у 0 оставить постоянной, а переменной х 0 придать некоторое приращение D х, то функция z = f (x, y) получит приращение , которое называется частным приращением функции z в точке (х 0, у 0) по переменной х. Аналогично, если переменная х 0 остается постоянной, а у 0 получает приращение D у, то - частное приращение функции z в точке (х 0, у 0) по переменной у.

Для функций нескольких переменных вводится понятие непрерывности по каждой из независимых переменных.

Определение. Частным приращением функции u = f (x 1, x 2,… xn) в точке по переменной xj называется величина

.

Определение. Функция u = f (x 1, x 2,…, xn) называется непрерывной в точке М 0 по переменной xj , если

.

Пример 1. Доказать, что функция

непрерывна в точке О(0;0) по каждой переменной х и у, но не является непрерывной по совокупности переменных.

D Частное приращение функции по переменной х в точке О(0;0):

.

Следовательно, функция непрерывна в т. О(0;0) по переменной х.

Частное приращение функции по переменной у в точке О(0;0):

.

Следовательно, функция непрерывна в т. О(0;0) по переменной у.

Но функция не является непрерывной в т.О(0;0) по совокупности переменных, т.к. предел функции в этой точке не существует (см. пример 2 из п.2). D

Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение. Точка M 0(x 0; y 0), в которой не выполняется условие непрерывности, называется точкой разрыва функции z = f (x; y).

Это может быть, например, в следующих случаях:

1. z = f (x; y) определена во всех точках некоторой окрестности точки М 0, кроме самой точки М 0;

2. функция непрерывна во всех точках V(М 0), но не существует;

3. функция непрерывна во всех точках V(М 0), и существует , но .

Пример 2. Найти точки разрыва функции .

D Функция может иметь разрыв лишь в точках, где =0 Û

Итак, данная функция имеет разрыв на прямых у = х, у = , х =2. D

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 338 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функций нескольких переменных | Пример. | Производная по направлению. Градиент | Производные и дифференциалы высших порядков | Примеры. | Экстремум функции нескольких переменных |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Понятие функции нескольких переменных| Функции нескольких переменных

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)