Производная по направлению. Градиент

1. Производная по направлению

Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z), определенную на множестве G. Пусть точка . Через точку М₀ проведём прямую l. Выберем произвольно на l точку М₁ и установим таким образом направление . Тогда l – прямая с выбранным направлением.

Пусть М(x,y,z) – переменная точка на прямой l. Через М₀М обозначим ориентированную длину отрезка М₀М, т.е. М₀М=|М₀М|, если направление отрезка совпадает с направлением l (точки М и М₁ лежат по одну сторону от точки М₀) и М₀М=-|М₀М|, если направление отрезка не совпадает с направлением l. Полное приращение функции:

.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется производной функции f в точке М₀ по направлению l.

Обозначается .

Замечание. Производная функции f(x) в точке х₀- это скорость изменения функции в точке х₀. Частная производная - скорость изменения функции в точке М₀ по направлению оси Ох; частная производная - скорость при функции в точке М₀ по направлению оси Оу, а - по направлению оси Oz. Тогда - скорость изменения функции в точке М₀ по направлению l. Если направление l совпадает с положительным направлением оси Ох, то = . Аналогично для . Т.е. частные производные функции – это производные по направлению координатных осей.

Теорема (достаточное условие существования производной по направлению l). Если u=f(x,y,z) дифференцируема в точке М₀, то в этой точке существует производная по направлению, исходящему из точки М₀, и

, (1)

где - направляющие косинусы направления l (координаты единичного вектора в этом направлении).

Доказательство.

Проведём через точку М₀ прямую l возьмём на ней точку М , - ориентированная длина.

.

По условию функция f дифференцируема в точке М₀. Следовательно, её полное приращение можно записать в виде

, (2)

где при . Разделим (2) на :

. (3)

Пусть М®М₀. Тогда . Тогда (проекции на оси координат) стремятся к 0. Следовательно, . Значит, правая часть равенства (3) при стремится к . Это означает, что существует и левой части: . Переходя в (3) к , получим (1).

Пример. . Найти производную в точке М₀(1,-2,3) в направлении вектора, соединяющего точки А(1;2;3) и В(3;3;1).

(2,1,-2), , .

, ,

, ,

, ,

.

2. Градиент

Пусть функция u=f(x,y,z) определена и дифференцируема на множестве G.

Определение. Градиентом функции u=f(x,y,z) в точке М₀ называется вектор с координатами .

Обозначается или .

Итак, .

Если функция f дифференцируема на G, то в каждой точке М G определён вектор . В этом случае говорят, что градиент функции f образует векторное поле на G, и оно называется векторным полем градиентов.

Теорема. Если функция u=f(x,y,z) дифференцируема в точке М₀, то производная по направлению l в точке М₀ равна проекции градиента функции f в этой точке на направление l.

Доказательство.

Т.к. функция f дифференцируема в точке М₀, то в этой точке существуют производная по направлению l и градиент, т.е. имеем

,

.

Через обозначим единичный вектор направления l: .

Тогда (скалярное произведение).

Т.к. , где - угол между векторами и , то, учитывая, что а , получим . Следовательно, .

Свойства градиента

1. Производная в данной точке М₀ по направлению l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение

.

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору градиента, равна нулю (следует из доказательства теоремы).

3. В каждой точке М₀ области определения функции градиент функции f направлен по нормали к поверхности уровня проходящей через эту точку.

4. ;

5. , где с=const;

6.

Свойства 4-6 следуют из определения градиента и правил дифференцирования.

Дата добавления: 2015-07-07