Читайте также: |
|
1. Производная по направлению
Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z), определенную на множестве G. Пусть точка . Через точку М0 проведём прямую l. Выберем произвольно на l точку М1 и установим таким образом направление
. Тогда l – прямая с выбранным направлением.
Пусть М(x,y,z) – переменная точка на прямой l. Через М0М обозначим ориентированную длину отрезка М0М, т.е. М0М=|М0М|, если направление отрезка совпадает с направлением l (точки М и М1 лежат по одну сторону от точки М0) и М0М=-|М0М|, если направление отрезка не совпадает с направлением l. Полное приращение функции:
.
Определение. Если существует конечный предел
,
то он называется производной функции f в точке М0 по направлению l.
Обозначается .
Замечание. Производная функции f(x) в точке х0- это скорость изменения функции в точке х0. Частная производная
- скорость изменения функции в точке М0 по направлению оси Ох; частная производная
- скорость при функции в точке М0 по направлению оси Оу, а
- по направлению оси Oz. Тогда
- скорость изменения функции в точке М0 по направлению l. Если направление l совпадает с положительным направлением оси Ох, то
=
. Аналогично для
. Т.е. частные производные функции – это производные по направлению координатных осей.
Теорема (достаточное условие существования производной по направлению l). Если u=f(x,y,z) дифференцируема в точке М0, то в этой точке существует производная по направлению, исходящему из точки М0, и
, (1)
где - направляющие косинусы направления l (координаты единичного вектора в этом направлении).
Доказательство.
Проведём через точку М0
прямую l возьмём на ней точку М
,
- ориентированная длина.
.
![]() |
, (2)
где при
. Разделим (2) на
:
. (3)
Пусть М®М0. Тогда . Тогда
(проекции
на оси координат) стремятся к 0. Следовательно,
. Значит, правая часть равенства (3) при
стремится к
. Это означает, что существует и
левой части:
. Переходя в (3) к
, получим (1).
Пример. . Найти производную в точке М0(1,-2,3) в направлении вектора, соединяющего точки А(1;2;3) и В(3;3;1).
(2,1,-2),
,
.
,
,
,
,
,
,
.
2. Градиент
Пусть функция u=f(x,y,z) определена и дифференцируема на множестве G.
Определение. Градиентом функции u=f(x,y,z) в точке М0 называется вектор с координатами .
Обозначается или
.
Итак, .
Если функция f дифференцируема на G, то в каждой точке М G определён вектор
. В этом случае говорят, что градиент функции f образует векторное поле на G, и оно называется векторным полем градиентов.
Теорема. Если функция u=f(x,y,z) дифференцируема в точке М0, то производная по направлению l в точке М0 равна проекции градиента функции f в этой точке на направление l.
Доказательство.
Т.к. функция f дифференцируема в точке М0, то в этой точке существуют производная по направлению l и градиент, т.е. имеем
,
.
Через
обозначим единичный вектор направления l:
.
Тогда
(скалярное произведение).
Т.к. , где
- угол между векторами
и
, то, учитывая, что
а
, получим
. Следовательно,
.
Свойства градиента
1. Производная в данной точке М0 по направлению l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение
.
2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору градиента, равна нулю (следует из доказательства теоремы).
3. В каждой точке М0 области определения функции градиент функции f направлен по нормали к поверхности уровня проходящей через эту точку.
4. ;
5. , где с=const;
6.
Свойства 4-6 следуют из определения градиента и правил дифференцирования.
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 223 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Пример. | | | Производные и дифференциалы высших порядков |