Криволинейные интегралы II типа

III. Криволинейные интегралы

Интегралы, которые мы рассматривали до сих пор, имели своими областями либо отрезки на прямой, либо некоторые области на плоскости и в пространстве.

Теперь рассмотрим случай, когда областью интегрирования является кривая, расположенная в плоскости. Затем все рассуждения можно перенести на случай кривой в пространстве.

Рассмотрение криволинейных интегралов расширяет возможности приложений математического анализа и решения задач физики и техники (и в самой математике – в теории поля и в ТФКП).

Существует два типа криволинейных интегралов.

Криволинейные интегралы II типа

1. Задача о работе плоского силового поля

Пусть материальная точка М, двигаясь прямолинейно под действием постоянной силы совершает перемещение . Работой А, производимой этой силой, называется скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения :

.

Если в каждой точке М области (P) определена сила, величина и направление которой зависят только от приложения точки М, то говорят, что на области (P) задано силовое поле.

Пусть материальная точка М движется по кривой ВС, лежащей в области (P) под действием силового поля.

Задача. Определить работу А силового поля при перемещении материальной точки из точки В в точку С по кривой.

Разобьем кривую ВС произвольными точками , взятыми по направлению от В к С, на n частичных дуг. На каждой частичной дуге выберем произвольно точки . На частичной дуге заменимприближенно переменную силу постоянной силой , равной вектору силы в точке . А движение материальной точки по этой дуге заменим ее движением по хорде этой дуги.Выполним это все . В результате приближенных замен имеем:

1) материальная точка движется по ломаной, вписанной в кривую ВС;

2) на каждом звене ломаной на материальную точку действует постоянная сила.

Работа силы на хорде равна

.

Суммируя по , получим

, (1)

- работа ступенчатой силы при движении материальной точки по ломаной , вписанной в кривую ВС. Эту работу считают приближением искомой работы А силы при перемещении материальной точки по кривой ВС: .

Пусть , ,

,

.

Тогда

. (2)

Пусть - длина , . Переходя в (2) к , получим точное равенство:

(3).

2. Определение криволинейного интеграла II типа

Пусть в плоскости задана спрямляемая кривая и вдоль нее определена функция f (x; y). Кривую разобьем произвольно на частей точками , . На каждой частичной дуге выберем произвольную точку . Обозначим через D x_k и D у_k проекции дуги на оси координат, D x_k = x_k - x_{k -1}, D y_k = y_k - y_{k -1}. Разбиение обозначим через . Составим сумму

(4).

(4) – интегральная сумма для функции f (x; y) на кривой AB по координате x. Пусть , - длина частичной дуги .

Определение 1. Число I называется пределом интегральной суммы при , если выполнено . Обозначается: .

Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом по координате х от функции f (x; y), взятым по кривой AB. Функция называется интегрируемой вдоль кривой AB по координате х,если для нее вдоль этой кривой существует криволинейный интеграл по x.

Обозначается: .

Таким образом, .

Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции f (x; y) по координате y, взятый по кривой AB:

.

Криволинейные интегралы по координатам x и y называются криволинейными интегралами II типа.

Если вдоль кривой AB две функции P (x; y) и Q (x; y), и существуют , , то сумма этих интегралов также называется криволинейным интегралом II типа (общего вида) и обозначается:

.

Физический смысл криволинейного интеграла II типа

Из задачи о работе плоского силового поля и определения криволинейного интеграла II типа следует, что криволинейный интеграл II типа общего вида

,

то есть выражает работу силы по перемещению материальной точки по кривой из точки А в точку В.

Замечание 1. Определенный интеграл является частным случаем криволинейного интеграла II типа. Пусть кривая АВ - это отрезок AB =[ a; b ] оси O x. Тогда f (x; y)= f (x;0)= F (x). Поэтому на [ a; b ]

.

В правой части – обыкновенная интегральная сумма для функции F (x) на [ a; b ]. Переходя к , получим

.

Аналогично, если кривая AB является некоторым отрезком [ c; d ] оси O y, то , где F(y)= f (0; y), y Î[ c; d ].

Замечание 2. Если на кривой AB поменять направление интегрирования на противоположное, то и знак криволинейного интеграла II типа изменится на противоположный. Это происходит потому, что в интегральных суммах изменяется знак . Таким образом, криволинейные интегралы II типа от одной и той же функции f (x; y), взятые по одной и той же кривой АВ, но в противоположных направлениях, равны по модулю, но противоположны по знаку:

,

.

Следовательно, при вычислении криволинейных интегралов II типа необходимо учитывать направление интегрирования. Из двух направлений на кривой одно считают положительным, а другое – отрицательным.

Если кривая замкнута и представляет собой контур, ограничивающий некоторую область на плоскости (это будет в случае, если замкнутая кривая не имеет кратных точек), то за положительное направление принимают обычно направление против хода часовой стрелки, а за отрицательное – по ходу часовой стрелки. Но для некоторых областей такой способ задания направления непригоден. В этом случае положительным направлением считают такое направление обхода контура, когда ограниченная им область (Р) остается все время слева. Интеграл по замкнутому контуру L обозначается: . Иногда с помощью стрелки указывают направление обхода: или .

3. Основные свойства криволинейного интеграла II типа

1º. Если функция f интегрируема вдоль кривой AB, , то функция kf также интегрируема вдоль кривой AB, причем

.

2º. Если функции f и g интегрируемы вдоль кривой AB, то и функция f ± g интегрируема вдоль кривой AB, причем

.

3º. (Аддитивность)

Для любой точки C кривой AB, если интегрируема вдоль кривой AB, то она интегрируема и вдоль кривых AС и СВ и

.

4º. Если функция интегрируема вдоль кривой AB, то она интегрируема и вдоль кривой ВА, причем

.

5º. Если интегрируема по замкнутому контуру L, то величина криволинейного интеграла не зависит от того, какую точку контура принять за начальную: .

Действительно, из рисунка видно

.

6º. Если область (P), ограниченную замкнутым контуром L разделить на две области (P ₁) и (P ₂), ограниченные контурами L ₁ и L ₂ соответственно, то интеграл в некотором направлении по кривой L равен сумме интегралов по контурам L ₁ и L ₂ в том же направлении:

.

Доказательство.

.

4.Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа

Теорема. Пусть кривая L=AB задана параметрическими уравнениями

где и - непрерывные дифференцируемые функции на [ a; b ]. При изменении параметра t от a до b кривая описывается от точки A к точке B. Пусть функции f (x; y), P (x; y), Q (x; y) непрерывны на кривой L (т. е. " M ₀Î L ). Тогда существуют , и справедливы соотношения:

1) ,

2) ,

3) .

Доказательство.

Докажем существование и равенство 1).

Возьмем произвольное разбиение Т кривой АВ точками A = M ₀, M ₁,…, M_n=B на n частичных дуг. Выберем произвольные точки и составим интегральную сумму

,

, .

Обозначим через t_k значение параметра t, которому соответствует точка , а через t_k - значение t, которому соответствует точка . Тогда

.

Подставим эти соотношения в :

.

Согласно формуле Ньютона-Лейбница . Подставляя в последнее равенство, получим:

. (5)

По условию f (x; y) непрерывна вдоль L, j (t), y (t), j ¢(t) непрерывны на [ a; b ], следовательно, она интегрируема

. (6)

Рассмотрим разность . Из (5), (6) следует

.

Оценим модуль этой разности:

. (7)

Так как непрерывна на [ a; b ], то она ограничена на [ a; b ], то есть выполнено . (8)

Так как непрерывна на [ a; b ], то она равномерно непрерывна на [ a; b ], то есть выполнено

. (9)

Если разбиение Т взять таким образом, что , то есть , то . Следовательно, для таких t выполнено (9):

. (10)

Тогда из (7), учитывая (8), (10), получим

.

Таким образом, выполнено

. (11)

Обозначим . Тогда из (11) следует, что

. (12)

Если , то и ®0. Тогда

.

Это означает, что , и из (6) следует, что

, то есть верно равенство 1).

Замечание 1. Пусть кривая АВ задана явным уравнением y=j (x), где j определена и непрерывна вместе с на [ a; b ], A = j (a), B = j (b). Пусть f непрерывна на кривой АВ. Тогда

, .

Аналогично, если кривая АB задана уравнением x = y (y), y Î[ c; d ], где y (y) непрерывно-дифференцируема на [ c; d ], то

, .

Замечание 2. Если кривая АВ представляет собой отрезок, параллельный оси O y, то . Это следует из того, что в интегральной сумме =0 , следовательно, . Отсюда . Аналогично, если АВ – отрезок, параллельный оси O x, то .

Пример 1. Вычислить , если L - дуга параболы y=x ² от точки (0;0) до точки (2;4).

Δ I способ. y=x ² Þ dy =2 xdx, x Î[0;2].

.

II способ. .

. D

Пример 2. , где L - верхняя половина эллипса, , проходимая по часовой стрелке.

Δ - параметрические уравнения кривой L (t изменяется от до 0!)

, .

. Δ

5. Формула Грина-Остроградского

Формула Грина-Остроградского связывает двойной интеграл по области (P) с криволинейным интегралом по границе (L) этой области.

I. Пусть область (P) ограничена контуром (L), состоящим из непрерывных кривых y=j ₁(x), y=j ₂(x), j ₁(x)£ j ₂(x) " x Î[ a; b ] и отрезков прямых x = a, x = b, a < b, то есть (P) - простая область I типа: (P_I)

Если функция P (x; y) вместе с непрерывна на замкнутой простой области (P_I), то справедлива формула

, (1)

где интегрирование по контуру берется в положительном направлении.

Доказательство.

.

Формула(1) справедлива и для более сложных областей, которые можно разбить на конечное число областей I типа. Покажем это на следующем примере.

Пусть область ограничена контуром (L). , где - простые области I типа. Обозначим - контуры этих областей. Пусть - части, на которые разбит контур (L).

, , .

К каждой из областей применима формула (1).

,

, .

Сложив эти равенства, учитывая, что , получим формулу (1).

II. Пусть область (P) ограничена кривой (L), состоящей из непрерывных кривых x = y ₁(y), x = y ₂(y), y ₁(y)£ y ₂(y) " y Î[ c; d ] и отрезками прямых y=c, y=d (c < d). То есть (P) - простая область II типа: (P_II).

Если функция непрерывна на замкнутой области (P_II), то справедлива формула

. (2)

Криволинейный интеграл в (2) берется в положительном направлении. Доказательство (2) аналогично доказательству формулы (1). Формула (2) справедлива и для более сложных областей, которые можно разбить на конечное число областей II типа.

III. Область (P) называется простой, если она одновременно является областью (P_I) и (P_II). Очевидно, любая прямая, параллельная осям координат, пересекает простую область не более, чем в двух точках.

Пусть (P) - простая область, (L) - ее контур. Тогда для этой области справедливы одновременно равенства (1) и (2). Вычитая (1) из (2) получим

. (3)

Из вышесказанного следует, что формула (3) справедлива и для области, которая может быть представлена в виде конечного числа простых областей. Итак, доказана следующая теорема:

Теорема. Пусть (P) - простая область (или область, представимая в виде конечного числа простых областей). Тогда если P (x; y) и Q (x; y) непрерывны вместе с частными производными и на замкнутой области (P), то справедлива формула (3).

Формула (3) называется формулой Грина – Остроградского. Ее можно доказать и для более общего случая: она справедлива и для области, которая ограничена одной или несколькими кусочно-гладкими кривыми.

Пример 1. С помощью формулы Грина – Остроградского вычислить криволинейный интеграл:

а) ,

б) ,

где (L) - контур треугольника с вершинами A(1;1), B(2;2), C(1;3).

Δ а) , ,

, .

(AB): y=x, (BC): , , x- 2=2 -y, y =4 -x.

.

б) P (x; y)=2 e^x-y, Q (x; y)= ye^x, , ,

. D

Пример 2. С помощью формулы Грина вычислить интеграл

, .

D (L): x ²+ y ²-4 y +4=4, x ²+(y- 2)²=4,

P (x; y)= e^x sin y-y, ,

Q (x; y)= e^x cos y- 1, ,

.

Или . D

6. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла

Пусть для области с границей (L) справедлива формула Грина (3):

.

Полагая в (3) Q (x; y)= x, P (x; y)=0, получим

. (4)

Полагая в (3) Q (x; y)=0, P (x; y)= -y, получим

. (5)

Складывая (4) и (5) и деля на 2, получим

. (6)

Для вычисления площади можно использовать любую из формул (4)-(6). Наиболее удобна последняя.

Пример 1. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

t
x	a		a	-	-3 a	-	a		a
y			2 a				-2 a

,

ABCDE: t Î[0;2 p ],

EA: y =0, dy =0 Þ S =0.

Следовательно,

.

.

7. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования

Вначале рассмотрим пример.

Дата добавления: 2015-07-07