Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Криволинейные интегралы II типа

Читайте также:
  1. Глава 1. Кратные интегралы. Двойной интеграл
  2. Глава 2. Кратные интегралы. Продолжение
  3. Глава 3. Криволинейные интегралы
  4. Глава 4. Поверхностные интегралы
  5. Глава 5. Интегралы, зависящие от параметра
  6. Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты
  7. Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения

III. Криволинейные интегралы

Интегралы, которые мы рассматривали до сих пор, имели своими областями либо отрезки на прямой, либо некоторые области на плоскости и в пространстве.

Теперь рассмотрим случай, когда областью интегрирования является кривая, расположенная в плоскости. Затем все рассуждения можно перенести на случай кривой в пространстве.

Рассмотрение криволинейных интегралов расширяет возможности приложений математического анализа и решения задач физики и техники (и в самой математике – в теории поля и в ТФКП).

Существует два типа криволинейных интегралов.

Криволинейные интегралы II типа

1. Задача о работе плоского силового поля

Пусть материальная точка М, двигаясь прямолинейно под действием постоянной силы совершает перемещение . Работой А, производимой этой силой, называется скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения :

.

Если в каждой точке М области (P) определена сила, величина и направление которой зависят только от приложения точки М, то говорят, что на области (P) задано силовое поле.

Пусть материальная точка М движется по кривой ВС, лежащей в области (P) под действием силового поля.

Задача.Определить работу А силового поля при перемещении материальной точки из точки В в точку С по кривой.

Разобьем кривую ВС произвольными точками , взятыми по направлению от В к С, на n частичных дуг. На каждой частичной дуге выберем произвольно точки . На частичной дуге заменимприближенно переменную силу постоянной силой , равной вектору силы в точке . А движение материальной точки по этой дуге заменим ее движением по хорде этой дуги.Выполним это все . В результате приближенных замен имеем:

1) материальная точка движется по ломаной, вписанной в кривую ВС;

2) на каждом звене ломаной на материальную точку действует постоянная сила.

Работа силы на хорде равна

.

Суммируя по , получим

, (1)

- работа ступенчатой силы при движении материальной точки по ломаной , вписанной в кривую ВС. Эту работу считают приближением искомой работы А силы при перемещении материальной точки по кривой ВС: .

Пусть , ,

,

.

Тогда

. (2)

Пусть - длина , . Переходя в (2) к , получим точное равенство:

(3).

 

2. Определение криволинейного интеграла II типа

Пусть в плоскости задана спрямляемая кривая и вдоль нее определена функция f(x;y). Кривую разобьем произвольно на частей точками , . На каждой частичной дуге выберем произвольную точку . Обозначим через Dxk и Dуk проекции дуги на оси координат, Dxk=xk -xk-1, Dyk=yk-yk-1. Разбиение обозначим через . Составим сумму

(4).

(4) – интегральная сумма для функции f(x;y) на кривой AB по координате x. Пусть , - длина частичной дуги .

Определение 1.Число I называется пределом интегральной суммы при , если выполнено . Обозначается: .

Определение 2.Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом по координате х от функции f(x;y), взятым по кривой AB. Функция называется интегрируемой вдоль кривой AB по координате х,если для нее вдоль этой кривой существует криволинейный интеграл по x.



Обозначается: .

Таким образом, .

Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции f(x;y) по координате y, взятый по кривой AB:

.

Криволинейные интегралы по координатам x и y называются криволинейными интегралами II типа.

Если вдоль кривой AB две функции P(x;y) и Q(x;y), и существуют , , то сумма этих интегралов также называется криволинейным интегралом II типа (общего вида) и обозначается:

.

Физический смысл криволинейного интеграла II типа

Из задачи о работе плоского силового поля и определения криволинейного интеграла II типа следует, что криволинейный интеграл II типа общего вида

,

то есть выражает работу силы по перемещению материальной точки по кривой из точки А в точку В.

Загрузка...

Замечание 1.Определенный интеграл является частным случаем криволинейного интеграла II типа. Пусть кривая АВ - это отрезок AB=[a;b] оси Ox. Тогда f(x;y)=f(x;0)=F(x). Поэтому на [a;b]

.

В правой части – обыкновенная интегральная сумма для функции F(x) на [a;b]. Переходя к , получим

.

Аналогично, если кривая AB является некоторым отрезком [c;d] оси Oy, то , где F(y)=f(0;y), yÎ[c;d].

Замечание 2. Если на кривой AB поменять направление интегрирования на противоположное, то и знак криволинейного интеграла II типа изменится на противоположный. Это происходит потому, что в интегральных суммах изменяется знак . Таким образом, криволинейные интегралы II типа от одной и той же функции f(x;y), взятые по одной и той же кривой АВ, но в противоположных направлениях, равны по модулю, но противоположны по знаку:

,

.

Следовательно, при вычислении криволинейных интегралов II типа необходимо учитывать направление интегрирования. Из двух направлений на кривой одно считают положительным, а другое – отрицательным.

Если кривая замкнута и представляет собой контур, ограничивающий некоторую область на плоскости (это будет в случае, если замкнутая кривая не имеет кратных точек), то за положительное направление принимают обычно направление против хода часовой стрелки, а за отрицательное – по ходу часовой стрелки. Но для некоторых областей такой способ задания направления непригоден. В этом случае положительным направлением считают такое направление обхода контура, когда ограниченная им область (Р) остается все время слева. Интеграл по замкнутому контуру L обозначается: . Иногда с помощью стрелки указывают направление обхода: или .

 

3. Основные свойства криволинейного интеграла II типа

1º.Если функция f интегрируема вдоль кривой AB, , то функция kf также интегрируема вдоль кривой AB, причем

.

2º.Если функции f и g интегрируемы вдоль кривой AB, то и функция f±g интегрируема вдоль кривой AB, причем

.

3º.(Аддитивность)

Для любой точки C кривой AB, если интегрируема вдоль кривой AB, то она интегрируема и вдоль кривых и СВ и

.

4º. Если функция интегрируема вдоль кривой AB, то она интегрируема и вдоль кривой ВА, причем

.

5º.Если интегрируема по замкнутому контуру L, то величина криволинейного интеграла не зависит от того, какую точку контура принять за начальную: .

Действительно, из рисунка видно

.

6º.Если область (P), ограниченную замкнутым контуром L разделить на две области (P1) и (P2), ограниченные контурами L1 и L2 соответственно, то интеграл в некотором направлении по кривой L равен сумме интегралов по контурам L1 и L2 в том же направлении:

.

Доказательство.

.

4.Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа

Теорема.Пусть кривая L=AB задана параметрическими уравнениями

где и - непрерывные дифференцируемые функции на [a;b]. При изменении параметра t от a до b кривая описывается от точки A к точке B. Пусть функции f(x;y), P(x;y), Q(x;y) непрерывны на кривой L (т. е. "M0ÎL ). Тогда существуют , и справедливы соотношения:

1) ,

2) ,

3) .

Доказательство.

Докажем существование и равенство 1).

Возьмем произвольное разбиение Т кривой АВ точками A=M0,M1,…,Mn=B на n частичных дуг. Выберем произвольные точки и составим интегральную сумму

,

, .

Обозначим через tk значение параметра t, которому соответствует точка , а через tk - значение t, которому соответствует точка . Тогда

.

Подставим эти соотношения в :

.

Согласно формуле Ньютона-Лейбница . Подставляя в последнее равенство, получим:

. (5)

По условию f(x;y) непрерывна вдоль L, j(t), y(t), j¢(t) непрерывны на [a;b], следовательно, она интегрируема

. (6)

Рассмотрим разность . Из (5), (6) следует

.

Оценим модуль этой разности:

. (7)

Так как непрерывна на [a;b], то она ограничена на [a;b], то есть выполнено . (8)

Так как непрерывна на [a;b], то она равномерно непрерывна на [a;b], то есть выполнено

. (9)

Если разбиение Т взять таким образом, что , то есть , то . Следовательно, для таких t выполнено (9):

. (10)

Тогда из (7), учитывая (8), (10), получим

.

Таким образом, выполнено

. (11)

Обозначим . Тогда из (11) следует, что

. (12)

Если , то и ®0. Тогда

.

Это означает, что , и из (6) следует, что

, то есть верно равенство 1).

Замечание 1.Пусть кривая АВ задана явным уравнением y=j(x), где j определена и непрерывна вместе с на [a;b], A=j(a), B=j(b). Пусть f непрерывна на кривой АВ. Тогда

, .

Аналогично, если кривая АB задана уравнением x=y(y), yÎ[c;d], где y(y) непрерывно-дифференцируема на [c;d], то

, .

Замечание 2.Если кривая АВ представляет собой отрезок, параллельный оси Oy, то . Это следует из того, что в интегральной сумме =0 , следовательно, . Отсюда . Аналогично, если АВ – отрезок, параллельный оси Ox, то .

Пример 1. Вычислить , если L - дуга параболы y=x2 от точки (0;0) до точки (2;4).

Δ I способ.y=x2 Þ dy=2xdx, xÎ[0;2].

.

II способ. .

. D

Пример 2. , где L - верхняя половина эллипса, , проходимая по часовой стрелке.

Δ - параметрические уравнения кривой L (t изменяется от до 0!)

, .

. Δ

 

5. Формула Грина-Остроградского

Формула Грина-Остроградского связывает двойной интеграл по области (P) с криволинейным интегралом по границе (L) этой области.

I. Пусть область (P) ограничена контуром (L), состоящим из непрерывных кривых y=j1(x), y=j2(x), j1(xj2(x) "xÎ[a;b] и отрезков прямых x=a, x=b, a<b, то есть (P) - простая область I типа: (PI)

Если функция P(x;y) вместе с непрерывна на замкнутой простой области (PI), то справедлива формула

, (1)

где интегрирование по контуру берется в положительном направлении.

Доказательство.

.

Формула(1) справедлива и для более сложных областей, которые можно разбить на конечное число областей I типа. Покажем это на следующем примере.

Пусть область ограничена контуром (L). , где - простые области I типа. Обозначим - контуры этих областей. Пусть - части, на которые разбит контур (L).

, , .

К каждой из областей применима формула (1).

,

, .

Сложив эти равенства, учитывая, что , получим формулу (1).

II.Пусть область (P) ограничена кривой (L), состоящей из непрерывных кривых x=y1(y), x=y2(y), y1(yy2(y) "yÎ[c;d] и отрезками прямых y=c, y=d (c<d). То есть (P) - простая область II типа: (PII).

Если функция непрерывна на замкнутой области (PII), то справедлива формула

. (2)

Криволинейный интеграл в (2) берется в положительном направлении. Доказательство (2) аналогично доказательству формулы (1). Формула (2) справедлива и для более сложных областей, которые можно разбить на конечное число областей II типа.

III.Область (P) называется простой , если она одновременно является областью (PI) и (PII). Очевидно, любая прямая, параллельная осям координат, пересекает простую область не более, чем в двух точках.

Пусть (P) - простая область, (L) - ее контур. Тогда для этой области справедливы одновременно равенства (1) и (2). Вычитая (1) из (2) получим

. (3)

Из вышесказанного следует, что формула (3) справедлива и для области, которая может быть представлена в виде конечного числа простых областей. Итак, доказана следующая теорема:

Теорема. Пусть (P) - простая область (или область, представимая в виде конечного числа простых областей). Тогда если P(x;y) и Q(x;y) непрерывны вместе с частными производными и на замкнутой области (P), то справедлива формула (3).

Формула (3) называется формулой Грина – Остроградского. Ее можно доказать и для более общего случая: она справедлива и для области, которая ограничена одной или несколькими кусочно-гладкими кривыми.

Пример 1.С помощью формулы Грина – Остроградского вычислить криволинейный интеграл:

а) ,

б) ,

где (L) - контур треугольника с вершинами A(1;1), B(2;2), C(1;3).

Δ а) , ,

, .

(AB): y=x, (BC): , , x-2=2-y, y=4-x.

.

б) P(x;y)=2ex-y, Q(x;y)=yex, , ,

. D

Пример 2.С помощью формулы Грина вычислить интеграл

, .

D (L): x2+y2-4y+4=4, x2+(y-2)2=4,

P(x;y)=exsiny-y, ,

Q(x;y)=excosy-1, ,

.

Или . D

 

6. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла

Пусть для области с границей (L) справедлива формула Грина (3):

.

Полагая в (3) Q(x;y)=x, P(x;y)=0, получим

. (4)

Полагая в (3) Q(x;y)=0, P(x;y)=-y, получим

. (5)

Складывая (4) и (5) и деля на 2, получим

. (6)

Для вычисления площади можно использовать любую из формул (4)-(6). Наиболее удобна последняя.

Пример 1.Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

t
x a a - -3a - a a
y 2a -2a

,

ABCDE: tÎ[0;2p],

EA: y=0, dy=0 Þ S=0.

 

Следовательно,

.

.

7. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования

Вначале рассмотрим пример.


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 182 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Экстремум функции нескольких переменных| Пример.

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.086 сек.)