Уравнение Чебышева- Эрмита

Найдем уравнение, которому удовлетворяет . Используя соотношение (7) заменяем в (8) последнее слагаемое и дифференцируем:

,

,

.

Таким образом, мы получили уравнение Чебышева-Эрмита, которое можно записать в операторной форме:

. (9)

Отсюда видно, что полином Чебышева-Эрмита является собственной функцией, соответствующей собственному значению и сводится к задаче Штурма-Лиувиля:

найти те значения , при которых уравнение Чебышева- Эрмита

, , (10)

имеет нетривиальное решение, возрастающее при , не быстрее чем конечная степень .

Решение этой задачи можно было бы искать в виде степенного ряда . Подставляя этот ряд в уравнение (10), получим для коэффициентов рекуррентную формулу

. (11)

Из формулы (11) видно, что при все коэффициенты обращаются в 0 для и ряд обрывается. Только при требовании может быть выполнено условие на бесконечности. Полученные полиномы будут определены с точностью до постоянного множителя. Выбирая , получим полиномы .

Дата добавления: 2015-07-08