Норма полиномов Лежандра

Вычислим норму полиномов Лежандра

. (5)

Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n +1на n) через и , а затем – через и . Учитывая ортогональность полиномов , , , получим:

Таким образом, мы получили рекуррентную формулу для нормы:

. (6)

Последовательное применение это формулы дает

.

Таким образом,

. (7)

Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд

,

который домножим на и проинтегрируем:

,

.

Система ортогональных функций называют замкнутой, если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы.

Система ортогональных функций называется полной в (a, b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации .

,

,

,

,

.

Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.

Дата добавления: 2015-07-08