Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Движение электрона в кулоновском поле

Читайте также:
  1. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  2. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  3. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  4. B — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  5. C — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  6. C — Реакция на происходящее (движение и сигналы)
  7. C — Реакция на происходящее (движение и сигналы)

Одной из простейших задач атомной механики является задача о движении электрона в кулоновском поле ядра, имеющая большой практический интерес, так как решение ее дает не только теорию спектра водорода, но и приближенную теорию спектров атомов с одним валентным электроном (водородоподобных атомов), например атома натрия.

В атоме водорода электрон находится в кулоновском электростатическом поле ядра (протона), так что потенциальная энергия U(x,y,z) равна

, (22)

где r есть расстояние электрона от ядра, -заряд электрона, -заряд ядра.

Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид

. (23)

Задача состоит в отыскании таких значений Е, для которых уравнение (23) допускает решение, непрерывное во всем пространстве и удовлетворяющее условию нормировки

. (24)

Запишем уравнение (23) в сферической системе координат с началом в ядре, которое предполагается неподвижным:

(25)

и будем искать решение в виде

. (26)

Принимая во внимание дифференциальное уравнение для сферических функций :

получаем:

. (27)

Введем в качестве единицы длины величину

,

в качестве единицы энергии — величину

.

Полагая

, < 0. (28)

Перепишем уравнение (27) в виде

,

. (29)

С помощью подстановки

, (30)

,

,

,

,

,

уравнение (29) приводится к виду

. (31)

Введя в качестве независимой переменной величину

, (32)

получим вместо (31) уравнение

(33′)

или

,

или

, (33)

где

(34)

совпадает с рассмотренным нами в §2.5 уравнением (21).

Найденные там собственные значения оказались равными

,

а собственные функции (определенные с точностью до постоянного множителя) через обобщенные полиномы Чебышёва-Лагерра :

. (35)

Учитывая, что , получаем:

.

Целое число п называется главным квантовым числом, пr - радиальным квантовым числом, l — азимутальным или орбитальным квантовым числом.

Заменяя λ его выражением согласно формулам (34) и (28), получаем квантованные значения энергии

(36)

. (37)

Они зависят только от главного квантового числа п.

Перейдем теперь к определению собственных функций водородоподобного атома. Для этого в силу формулы (26) нам достаточно найти радиальные функции χ(ρ). Пользуясь формулами (30), (32), (34), (35), (36), можем написать

, (38)

где Ап — нормировочный множитель, определяемый из условия

. (39)

Вычисляя Ап, получаем следующее выражение для нормированных радиальных функций:

. (40)

В силу формул (26) и (19) нормированные собственные функции имеют вид

,

где - нормировочный коэффициент, определяемый формулой (40).

Число т (т = 0, ±1, ±2,..., ±l) называется магнитным квантовым числом. Так как пr всегда неотрицательно (nr = 0, 1, 2, ...), то при данном п в силу формулы

п = пr + l + 1

квантовое число l не может быть больше п-1 (l= 0, 1, 2,..., п-1). Поэтому при определенном значении главного квантового числа п число l может принимать n значений: l = 0, 1,..., n-1, а каждому значению l соответствует (2l + 1) значений т. Отсюда следует, что заданному значению энергии Еп, соответствует n2 различных собственных функций. Таким образом, каждый уровень энергии имеет вырождение кратности п2.



Найденный нами дискретный спектр отрицательных собственных значений энергии Еп состоит из бесконечного множества чисел с точкой сгущения в нуле.

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 204 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Рекуррентные формулы | Норма полиномов Лежандра | Присоединенные функции Лежандра | Сферические функции | Ортогональность системы сферических функций | Уравнение Чебышева- Эрмита | Функции Чебышева-Эрмита | Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра | Уравнение Шредингера | Гармонический осциллятор |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Ротатор| Цилиндрические функции

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.007 сек.)