Рекуррентные формулы

Используем производящую функцию

,

и найдем частные производные по и по , чтобы получить два уравнения:

,

, (9)

,

. (10)

Запишем левую часть формулы (9) в виде степенного ряда относительно , подставив в нее ряд (3) для и ряд . Коэффициент при ρ ⁿ полученного ряда , в силу (9), равен нулю при всех x. Рассмотрим эту процедуру подробнее. Возьмем производную по и подставим в формулу (9):

Сделаем замены индексов, чтобы "собрать" слагаемые с одинаковыми степенями

Запишем коэффициенты при ⁰, ¹,…, ⁿ.

, где n ≥2. (11)

Таким образом, выражение (11) представляет собой общее рекуррентное соотношение. Домножим (9) на , (10) на () и вычтем одно из другого

, (12)

,

используя процедуру примененную ранее получим соотношение

, (13)

или рекуррентную формулу

. (14)

Продифференцируем по x соотношение (11) и исключая и заменяя n +1 на n получим новую рекуррентную формулу:

. (15)

Дата добавления: 2015-07-08