Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Производящая функция и полиномы Лежандра

Читайте также:
  1. F(x) Функция
  2. II. Функция "холокоста в мире после 1945 г
  3. V. Если жизнь излишне деловая,функция слабеет половая.
  4. а. Морфология и функция BBB
  5. Активационная функция.
  6. Алгоритм RSA. Генерация ключей и функция шифрования
  7. Анатомия и функция наружных мышц глаза

Полиномы Лежандра

Производящая функция и полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения Лапласа 1/R, где R – расстояние от точки М до фиксированной точки М0. Пусть r и r0 – радиусы-векторы точек М и М0, а - угол между ними. Очевидно, можно записать

, (1)

 

где ,

 

,

при , , .

,

при , , .

Функция

,

называется производящей функцией полиномов Лежандра.

Разложим функцию в ряд по степеням :

, , . (2)

Коэффициенты в разложение (2) являются полиномами n-й степени и называются полиномами Лежандра.

В силу теоремы Коши из формулы (2) следует, что

. (3)

Перейдем в комплексную плоскость ( , ). Используя интегральную формулу Коши и пользуясь формулой для производной

(4)

Полагая , находим , ,

, (5)

где С1- любой контур, окружающий точку x=z. Подинтегральная функция имеет особенность, а именно полюс (n+1) порядка.

С помощью теории вычетов получим:

. (6)

Из формулы (6) непосредственно видно что:

1. Pn(x) есть полином степени n;

2. Полином Pn(x) содержит степени x той же четности, что и номер n, так что

. (7)

Граничное условие в точке x=1, дает:

,

т.е. .

Формула (6) называется дифференциальной формулой для полиномов Лежандра или формулой Родрига. С учетом (7)

.

Отметим, что из (1) и (3) следует разложение потенциала

(8)

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 205 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Норма полиномов Лежандра | Присоединенные функции Лежандра | Сферические функции | Ортогональность системы сферических функций | Уравнение Чебышева- Эрмита | Функции Чебышева-Эрмита | Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра | Уравнение Шредингера | Гармонический осциллятор | Ротатор |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Газовая сварка| Рекуррентные формулы

mybiblioteka.su - 2015-2019 год. (0.007 сек.)