Ортогональность системы сферических функций

Докажем, что сферические функции, соответствующие различным значениям , ортогональны на поверхности сферы . Пусть и удовлетворяют уравнениям

; , (19)

где

.

Нетрудно видеть, что имеет место формула

, (20)

которая легко получается интегрированием по частям (). На поверхности сферы:

,

.

Так что используя

и формулу (20) можно записать в виде

.

Меняя местами в формуле (20) функции и , а также вычитая полученную формулу из формулы (20), будем иметь:

. (21)

Формулы (20) и (21) являются формулами Грина для операторов сферических функций.

Из формулы (21) легко следует ортогональность и . В самом деле, пользуясь уравнениями (19), получим из формулы (21)

,

откуда при получим, что

,

или

.

Тем самым доказана ортогональность сферических функций, соответствующих разным .

Дата добавления: 2015-07-08