Присоединенные функции Лежандра

Присоединенные функции

Рассмотрим следующую задачу:

найти собственные значения и собственные функции следующего уравнения

, -1< x <1, (1)

при условии ограниченности

. (2)

Будем искать решение в виде:

(3)

При подстановке (3) в (1) найдем

,

,

. (4)

Это же уравнение получается для производной решения уравнения Лежандра (17) из §1, если продифференцировать n раз.

, (4а)

Продифференцируем соотношение (4а) n раз, тогда получим

,(5)

, . (6)

Нетривиальное и ограниченное решение уравнения Лежандра существует при , где m>0. Соотношение (6) является решением уравнения (3), а функция

,

есть собственная функция исходной задачи (1) для собственных значений , где m -целые числа. - присоединенная функция Лежандра n -го порядка:

. (7)

Если n =0, то , лишь при .

Дата добавления: 2015-07-08