F(x) Функция

Статистические

СРЗНАЧ,

ДИСП

Полученные таким образом значения будут немного отличаться от рассчитанных по интервальному ряду, т.к. рассчитываются по всем 100 значениям, но помогут проверить правильность проведённых расчётов.

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса определяются по формулам:

У нас получились коэффициент асимметрии и эксцесса

Коэффициент асимметрии (скошенности) показывает степень асимметрии кривой по сравнению с нормальным распределением. Если распределение симметрично, то коэффициент асимметрии равен нулю. Положительные значения коэффициента асимметрии говорят о правосторонней асимметрии, у такой кривой более пологий спуск – справа. Соответственно, отрицательные значения коэффициента асимметрии говорят о левосторонней асимметрии, более пологий спуск – слева.

Коэффициент эксцесса служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения. Эксцесс для случайной величины, распределённой по нормальному закону, равен нулю. Положительные значения коэффициента эксцесса говорят о том, что кривая распределения имеет более острую вершину, чем нормальная кривая, а отрицательные значения эксцесса характеризуют более пологую кривую.

В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным (), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался также отрицательным () Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальным, имеет несколько более плоскую вершину.

Коэффициент вариации .

В нашем примере

Вычисление медианы

Вычисления медианы и моды необходимо выполнить двумя способами – по исходным данным и по построенному интервальному ряду.

I способ. Вычисление медианы по исходным данным.

Медиана - значение признака x_l, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

При нечётном числе наблюдений (n=2· l +1) медиана .

При четном числе наблюдений (n=2· l) медианой является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: .

Для определения медианы выборки необходимо ранжировать в порядке возрастания значения, попавшие в медианный интервал - интервал, в котором накопленная частота m_н впервые превышает половину объема выборки . В таблице 1.2 медианным является интервал [5.41; 5.52] (m_н =65). Первое значение этого интервала соответствует x₃₇, находим значения, соответствующие x₅₀ и x₅₁.

Если в п.1 была построена таблица 1.3 ранжированных значений, то по ней ещё проще найти значения, соответствующие x₅₀ и x₅₁ (в таб. 1.3 они выделены).

В данном примере x₅₀ = x₅₁ = 5,43.

Следовательно, (млн. руб.).

Можно найти медиану с помощью встроенной статистической функции Excel МЕДИАНА, выделив после вызова функции весь массив исходных данных.

II способ. Вычисление медианы по интервальному ряду.

Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по формуле:

где a_Me – нижняя граница медианного интервала;

m_Me – частота встречаемости признака в медианном интервале;

m_н(Me-1) – накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

В нашем примере

млн. руб.

В таблице 1.2 соответствующие значения подчеркнуты.

Вычисление моды

I способ. Вычисление моды по исходным данным.

Мода для совокупности наблюдений равна тому значению изучаемого признака, которому соответствует наибольшая частота встречаемости.

Следует отметить, что распределение может иметь не одну, а две и более мод, если соответствующее число значений признаков имеет одинаковую наибольшую частоту встречаемости. Такие распределения называются соответственно двухмодальными или полимодальными.

У нас, как видно из таблицы 1.1, и, особенно, таб. 1.3, значение 5,43 имеет наибольшую частоту (m_Мо=15). Это означает, что млн. руб.

Можно найти моду с помощью встроенной статистической функции Excel МОДА, выделив после вызова функции весь массив исходных данных (только для одномодальных распределений).

II способ. Вычисление моды по интервальному ряду.

Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле:

где a_Mо – нижняя граница модального интервала (интервала с наибольшей частотой, в нашем примере он совпадает с медианным);

m_Mо – частота встречаемости признака в модальном интервале;

m_(Mо-1) – частота интервала, предшествующего модальному;

m_(Mо+1) – частота интервала, следующего за модальным.

В нашем примере

млн. руб.

В таблице 1.2 соответствующие значения выделены звёздочкой*.

Так как , и почти не отличаются друг от друга, а коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

Дата добавления: 2015-07-08