Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

Одним из наиболее распространённых способов проверки гипотезы о том, к какому из видов законов распределения принадлежат исходные данные, является критерий согласия Пирсона или критерий , основанный на сравнении эмпирических частот m_i с теоретическими m_i^T, которые можно ожидать при выполнении определенной нулевой гипотезы.

Примечание. При использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим (n 50) и интервалы должны быть достаточно заполнены частотами. Если отдельные теоретические частоты на концах распределения окажутся малыми (m_i^T < 5), то при вычислении χ²_набл необходимо объединить такие интервалы, сложив соответствующие частоты. Объединение продолжается до тех пор, пока не будет m_i^T ≥ 5. Параллельно с теоретическими объединяются и соответствующие эмпирические частоты. Когда все теоретические частоты становятся m_i^T ≥ 5, объединение заканчивается, и рассчитываются наблюдаемое и критическое значения критерия, исходя уже из числа новых, полученных после объединения интервалов.

Значение χ²_набл - наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно:

где k – число интервалов (после объединения).

m_i^T - теоретические частоты.

Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления χ²_набл сведем в таблицу 1.6.

Таблица 1.6

Вычисление наблюдаемого значения статистики критерия согласия Пирсона при проверке нормальности распределения объемов основных фондов

Интервалы	mi	mi^T	(mi - mi^T)^2
4,97 - 5,08							0,267
4,08 - 5,19
5,19 - 5,30
5,30 - 5,41						0,190
5,41 - 5,52						0,148
5,52 - 5,63						0,727
5,63 - 5,74						0,267
5,74 - 5,85
				χ^2набл =1,599

Правило проверки гипотезы заключается в следующем.

Определяем по таблице хи - квадрат распределения Пирсона (таб. 2) критическое значение χ²_кр (α,ν) для числа степеней свободы ν=k-3 (k - число интервалов, получившихся после объединений) и заданного уровня значимости α. Затем сравниваем χ²_набл и χ²_кр.

Если χ²_набл ≤ χ²_кр, то выдвинутая гипотеза H₀ о том, что исследуемая характеристика подчиняется нормальному закону распределения, не отвергается на уровне значимости α =0,05 (не противоречит опытным данным).

Если χ²_набл > χ²_кр, то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки α= 0,05.

Сумма значений последнего столбца таб. 1.6 даёт наблюдаемое значение статистики критерия согласия Пирсона χ²_набл =1,599.

Критическое значение критерия найдём по таблице хи - квадрат распределения Пирсона (таб.2) математической статистики. После всех объединений получилось 5 интервалов Определяем критическое значение χ²_кр (α,ν) для числа степеней свободы ν=k- 3=5-3=2 и заданного уровня значимости α= 0,05. χ²_кр (α= 0,05; ν= 2 ) = 5,991.

Так как в нашем случае < , то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается.

Вывод: гипотеза о том, что распределение объемов основных фондов 100 предприятий подчиняется нормальному закону распределения, не противоречит опытным данным на заданном уровне значимости α= 0,05.

Дата добавления: 2015-07-08