Исследование функции на монотонность и экстремумы

Теорема (необходимый признак монотонности)

Пусть функция на отрезке имеет производную. Тогда:

1. Если не убывает на , то на отрезке .

2. Если не возрастает на , то на отрезке .

3. Если функция = const на , то на отрезке .

Теорема (достаточный признак монотонности)

Пусть функция непрерывна и дифференцируема на отрезке . Тогда:

1. Если на отрезке , то не убывает на отрезке .

2. Если на отрезке , то не возрастает на отрезке .

3. Если на отрезке , то = const на .

Точка называется: точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки . Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки . Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремальными значениями. Точки экстремумов разделяют интервалы монотонности.

Теорема (необходимый признак существования экстремума)

Если в точке функция достигает экстремума, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками I рода; стационарные точки и точки, где производная не существует, вместе называются критическими точками I рода.

Теорема (первый достаточный признак существования точки экстремума)

Пусть функция непрерывной в не­которой окрестности точки и дифференцируема в ней (за исключением, быть может, самой точки ). Если при переходе че­рез точку производная меняет знак с плюса на минус, то – точка максимума, если с минуса на плюс,то – точка минимума, если знак производной не меняется, то функция не имеет в точке экстреума.

Пример

Исследовать на экстремум функцию

Решение:

1. Ищем область определения:

2. Ищем

3. Ищем критические точки:

существует на всей области определения, поэтому других критических точек нет.

4. Исследуем знаки до и после критических точек:

5. Определяем экстремальные точки по смене знака и вычисляем экстремальные значения функции:

Теорема (второй достаточный признак существования экстремума)

Точка есть точка экстремума функции , если , , причем если , то – точка минимума, а если , то – точка максимума.

Пример

В предыдущем примере

Дата добавления: 2015-07-08