Непрерывность функций

Функция называется непрерывной в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности и в самой точке х₀ и если выполняется условие:

,

(т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции).

Последнее равенство равносильно следующему:

Формулировка условий непрерывности в развернутом виде:

1) определена в точке и ее окрестности.

2) Существуют конечные односторонние пределы:

3) Односторонние пределы равны друг другу.

4) Односторонние пределы равны значению .

Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения. Если в какой-либо точке функция не является непрерывной, то данная точка будет являться точкой разрыва функции.

Возможны следующие виды разрывов:

а) Существуют конечные односторонние пределы, но они не равны друг другу, тогда – точка неустранимого разрыва первого рода (в точке функция имеет «скачок»).

б) Один или оба односторонних предела не существует или бесконечны, тогда – точка разрыва второго рода (в точке функция имеет бесконечный разрыв).

в) Функция не определена в точке , но условия 2) и 3) непрерывности выполнены, тогда – точка устранимого разрыва первого рода.

Дата добавления: 2015-07-08