Правило Лопиталя

Теорема 1 (правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида )

Пусть функции на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль при , т. е. . Тогда, если существует предел отношения производных при , то существует и предел отношения функций , причем они равны друг другу: .

Теорема имеет место и в том случае, если функции не определены при х = а, но

Если , а производные удовлетворяют условиям, налагаемым на теоремой 1, правило Лопиталя применяется повторно уже к отношению производных . Получим:

Правило Лопиталя применяется и в том случае, когда а

Правило Лопиталя остается в силе, если окажется, что .

Примеры

Теорема 2 (правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида )

Пусть функции непрерывны и дифференцируемы при всех в окрестности точки , причем ; пусть далее . Тогда, если существует предел то существует и предел , и они равны между собой:

.

Данное правило допускает повторное применение, а также сохраняет силу в случаях, когда или когда .

Примеры

.

С помощью правил Лопиталя раскрываются неопределенности которые различными преобразованиями сводятся к неопределенностям видов или .

Примеры

---

Дата добавления: 2015-07-08