Анализ условия задачи. Скорость падения зависит от формы камня

Скорость падения зависит от формы камня. Плоский камень кувыркается, и часть потенциальной энергии переходит не только в энергию поступательного движения, но и в кинетическую энергию вращения (смотри ниже раздел о движении твердого тела). Поэтому подразумевается, что камень хорошо моделируется материальной точкой.

Утверждение, что сила сопротивления пропорциональна скорости, означает, что её можно записать в виде

. (61)

Решение.

Второй закон Ньютона для камня имеет вид

, (62)

положительное направление оси х, направлено вертикально вниз.

Уравнение (62), спроецированное на ось х, имеет вид

. (63)

Это дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции . Для его решения применяется специальный приём «замена переменной». В нашем случае неизвестная функция может быть заменена неизвестной функцией

, (64)

где А – неизвестная постоянная, которую мы выберем из соображений удобства.

Дифференцируя (64) по времени, получим

. (65)

Подставим (64) и (65) в уравнение (63). Найдем, что

. (66)

Теперь выберем А, наложив условие

. (67)

Тогда

. (68)

После такого выбора уравнение (66) можно привести к виду

. (69)

Дифференциальные уравнения вида (69) решают «методом разделения переменных». Из (69) следует, что

. (70)

Интегрируя (70), получим

. (71)

Учтем теперь, что в случае, когда , для любого значения справедливо равенство . Возьмем качестве основание натуральных логарифмов е, и воспользуемся равенством (71). Тогда (напомним, что )

. (72)

Воспользовавшись основным свойством логарифмов, получим

. (73)

Теперь можно вернуться к функции :

. (74)

Для определения неизвестной постоянной используем начальное условие для скорости. В условии задачи сказано, что в начальный момент падения (при t = 0) скорость камня равнялась нулю. Поэтому

. (75)

Следовательно,

(76)

и функция есть

. (77)

Дата добавления: 2015-11-04