Обсуждение результатов. Двойное интегрирование мгновенного ускорения позволяет найти

Двойное интегрирование мгновенного ускорения позволяет найти, с использованием начальных условий, закон движения материальной точки. Мы рассмотрели случай трехмерного движения. Из формулы (13) следует, что движение невозможно классифицировать как какое-то «простое» движение типа «равномерного», «равноускоренного» или «равнозамедленного». Только отдельные слагаемые в (13) допускают такую интерпретацию. Мы имеем общий (произвольный), но строго определенный тип движения.

Кинематика вращательного движения материальной точки.

Движение точки по плоской кривой.

Теоретическое введение.

1. Поскольку материальная точка не имеет «поперечных размеров», говорить о её вращении вокруг проходящей через точку оси нельзя. Материальная точка может вращаться по какой-то окружности (постоянного или переменного радиуса), либо двигаться по произвольной траектории (будет рассмотрен случай движения по плоской кривой).

2. Кривая называется плоской, если все её точки лежат в одной плоскости. Выделим на кривой три близкие точки. Как известно, через них можно провести единственную окружность. Будем сближать эти точки. В пределе получим окружность, касающуюся нашей кривой в одной точке. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны кривой в данной точке.

3. Пусть за некоторое время материальная точка прошла по окружности радиусом R путь , где - угол, на который при этом повернулся радиус. По определению, производная

(14)

называется угловой скоростью вращения материальной точки. Эта скорость измеряется в радианах в секунду. Если скорость не зависит от времени, то движение точки называется равномерным вращением.

4. Считаем радиус окружности постоянной величиной и дифференцируем пройденный путь (длину дуги), а также угол поворота по времени. Тогда из равенства следует связь между линейной и угловой скоростями:

. (15)

5. Согласно определению, угловым ускорением называется первая производная угловой скорости по времени:

. (16)

Здесь мы опять считали радиус окружности постоянной величиной; размерность углового ускорения – радиан за секунду в квадрате.

6. При постоянстве радиуса угловое ускорение связано с линейным ускорением соотношением

. (17)

Впрочем, вопрос о связи линейного и углового ускорений более сложен. Рассмотрим его отдельно.

7. Учтем, что в любой момент времени мгновенная линейная скорость касательна к окружности, т.е. . Здесь – численное значение мгновенной скорости при движении по окружности (она может быть и постоянной во времени), а – единичный касательный вектор к той точке окружности, где в данный момент находится материальная точка. Касательный вектор всё время изменяет своё направление, то есть движение по окружности (даже с постоянной по величине скоростью) всегда ускоренное.

Продифференцируем вектор скорости по времени. Получим

. (18)

Первое слагаемое учитывает изменение величины скорости и называется тангенциальным ускорением . Второе слагаемое не связано с изменением численного значения скорости, но учитывает изменение её направления. Это нормальное или центростремительное ускорение. Можно показать, что

, (19)

При движении по окружности R – радиус окружности; при движении по плоской кривой R – радиус кривизны кривой в данной точке. Вектор направлен к центру окружности или центру кривизны.

Численное значение ускорения (18) найдем, пользуясь теоремой Пифагора:

. (20)

Задача 3.

Материальная точка движется по окружности радиусом R с угловой скоростью рад/с. Найти мгновенное угловое ускорение точки и закон вращения, если в начальный момент точка занимала положение, определяемое углом .

Дата добавления: 2015-11-04