Асимптоты графика функции

Определение. Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен .

Например, для прямая является вертикальной асимптотой, поскольку односторонние пределы:

;

.

Определение. Говорят, что прямая является наклонной асимптотой графика функции при , если представима в виде , где .

Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:

; (1)

. (2)

Действительно, пусть график функции имеет при , асимптоту , т.е. для справедливо представление . Тогда

,

.

Это необходимость.

Покажем достаточность. Пусть существуют пределы (1) и (2), второй из этих пределов дает право утверждать, что разность является бесконечно малой при . Обозначив эту бесконечно малую функцию через , получим представление . Что и требовалось доказать.

Замечание. Существование наклонной асимптоты графика функции означает, что при функция ведет себя “почти как линейная функция” (рис. 18).

Рис. 18

Линия (1) – график функции ; линия (2) – асимптота графика функции.

Замечание. Для получения уравнения наклонной асимптоты иногда применяется правило Лопиталя:

.

3.5. Схема исследования функции y=f(x)

1. Находим область определения функции там, где она имеет смысл, т.е. вычислима.

2. Находим точки пересечения графика с осями координат (с осью при и с осью при ).

3. Находим интервалы знакопостоянства функции там, где и .

4. Выясняем чётность или нечётность функции, проверяем равенства или .

5. Находим вертикальные и наклонные асимптоты и .

6. Находим интервалы монотонного убывания (или возрастания функции) там, где или () и точки экстремума.

7. Находим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции (там, где и ), и точки перегиба.

8. Схематично строим график данной функции с учётом исследования.

Пример 12. Исследовать функцию и построить график.

Решение:

1) область определения: , ;

2) найдем точки пересечения графика с осью , то есть при . С осью , где и тогда . Получаем единственную точку ;

3) интервалы знакопостоянства. Так как при всех , то функция знакоположительна на всей числовой прямой.

4) исследуем на четность ^, то есть и , а значит функция не является чётной и не является нечётной. Поэтому график не симметричен относительно осей координат. Симметрии нет;

5) вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва. Наклонные асимптоты ищем в виде :

,

.

Следовательно – горизонтальная асимптота при , вычисляем угловой коэффициент , это означает, что при асимптот нет. При этом ;

6) находим интервалы монотонного убывания и возрастания функции. Для этого вычисляем 1–ю производную и её корни:

; , – нули ставим на числовую прямую и выясняем знак (рис. 19).

Рис. 19

Заметим, что функция возрастает при и убывает при .

Получим точку локального минимума , в которой и точка локального максимума , в которой .

7) найдем интервалы выпуклости (вогнутости). Для этого вычислим 2–ю производную: и найдём её корни . Дискриминант и по формулам Виета получаем корни: . Выясним знак при перехода через эти корни (рис. 20).

Рис. 20

Следовательно, график выпукл при и вогнут при . А тогда точки перегиба графика функции:

и ;

8) строим схематично график функции с учётом проведённого исследования (рис. 21).

Рис. 21

Пример 13. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1) , где точки разрыва. Область определения или ;

2) найдем точки пересечения графика с осями координат, пусть , точка является точкой пересечения графика с осями координат;

3) интервалы законопостоянства (рис. 22): .

Рис. 22

Если функция положительна, если функция отрицательна;

4) исследование на четность , функция нечетная и график симметричен относительно начала координат;

5) находим асимптоты. Имеем две вертикальные асимптоты. Это прямые с уравнениями поскольку односторонние пределы:

слева,

справа,

слева,

справа.

Ищем наклонные асимптоты:

; . Найдем и тогда наклонная асимптота , где будет горизонтальной с уравнением ;

6) интервалы монотонности и точки экстремума:

; ; , для всех .

Функция является возрастающая на всей числовой оси. Точек экстремума нет, так как всюду положительна (рис. 23).

Рис. 23

- нет действительных корней;

7) найдем интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба:

;

.

Точки перегиба – это те точки, в которых :

.

Выясним знак при переходе через критические точки (рис. 24).

Рис. 24

График функции вогнут, если и выпукл, если .

Точка является точкой перегиба графика, потому что меняет знак при переходе через . Однако при и перегиба нет, поскольку функция терпит разрыв в этих точках;

8) схематично строим график (рис. 25).

Рис. 25

4. Применение пакета прикладных программ “ MathCad“ для построения графика функций

В настоящее время в учебном процессе во многих вузах используются математические пакеты: “MathCad”, “Maple”, “MatLab” и др. Данные программные продукты реализованы на высокопрофессиональном уровне и в процессе своего развития усовершенствуются. ППП “MathCad” имеет дружественный Window’s интерфейс. Он хорошо понятен пользователю на почти интуитивном уровне, имеет “help”, где можно найти любую интересующую информацию.

Непосредственное применение ППП “MathCad” при построении графиков функций с использованием производных и пределов требует знание некоторых функций пакета:

1.Оператор присваивания. “:=” – является оператором присваивания в ППП “MathCad”.

2. Символьное вычисление. Чтобы произвести символьное вычисление или получить точный результат в виде дроби, а не приближенное десятичное значение для результата вычисления необходимо вместо знака “=” писать знак “→”.

3. Вычисление пределов функции.

– возвращает значение предела функции при .

4. Вычисление производной. – возвращает производную функции ; – возвращает n -ю производную функции .

5. Функция нахождения корней уравнения. возвращает значение , при котором равна нулю.

6. Работа с графиками на плоскости:

Создание графика: нажмите клавишу @ и поместите выражение, которое будет отображаться графически, в поле ввода для каждой из осей. Затем нажмите клавишу F9, чтобы построить график.

Удаление графика: щёлкните на графике, чтобы выделить его. Затем нажмите клавиши Ctrl+X, чтобы удалить его.

Перемещение графика: заключите график в пунктирный выделяющий прямоугольник. Затем перетащите его или вырежьте и вставьте график на новое место.

Изменение размера графика: заключите график в пунктирный выделяющий прямоугольник. Переместите указатель мыши на правую или нижнюю границу рамки, указатель изменит свой вид на двунаправленную стрелку. Удерживая кнопку мыши, переместите её, чтобы изменить размер графика.

Границы на осях: чтобы изменить границы на осях, установленные в Mathcad по умолчанию, щёлкните в графике в поле ввода для границ на осях. Введите новые значения для каждой оси в соответствующие поля ввода. Нажмите клавишу F9, чтобы заново отобразить график.

Установки осей: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку X-Y Оси. В открывшемся диалоговом окне можно установить линейный или логарифмический масштаб осей, линии сетки с нумерацией или без неё, тип осей.

Надписи на осях: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку “Надписи”. Откроется диалоговое окно, содержащее установки для определения надписей для осей.

Установки для отдельных кривых: дважды щёлкните мышью на графике и выберите закладку “Графики”. Открывшееся диалоговое окно позволяет определить тип графика, вид маркеров, толщину, цвет и вид линий.

Имена кривых: дважды щёлкните мышью на графике и в появившемся диалоговом окне выберите закладку “Графики”, чтобы включить или отключить отображение названий кривых.

Увеличение фрагмента графика: Щёлкните дважды на графике, затем выберите пункт “Лупа” из меню “X-Y Графики”. Выделите с помощью мыши область графика, которая будет увеличена. Щёлкните на кнопке “Увеличение” в диалоговом окне – “Лупа”.

Считывание координат точек графика: щёлкните мышью на графике, затем выберите пункт “Графики” из меню “X-Y График”. Щёлкните на нем и переместите мышь в ту точку, координаты которой нужно увидеть. Нажмите клавишу Alt+F4, чтобы закрыть диалоговое окно.

Заголовки графиков: Дважды щёлкните на графике, выберите закладку “Надписи”. В диалоговом окне содержатся установки для включения заголовков в область графика.

Установки по умолчанию: Дважды щёлкните на графике и выберите в диалоговом окне закладку “По умолчанию”. Щёлкните на кнопке "Вернуть значения по умолчанию", чтобы применить к графику значения, установленные по умолчанию. Для того, чтобы определить значения текущего графика как значения по умолчанию, выберите переключатель "Использовать для значений по умолчанию".

Рассмотрим конкретные примеры исследования функций и построения графиков с помощью ППП “MathCad”:

1) (рис. 26)

Рис. 26

2) (рис. 27)

Рис. 27

Дата добавления: 2015-10-02