|
Читайте также: |
Пусть функция 
имеет производную в любой точке 
, тогда можно провести касательные к графику функции 
, проходящие через каждую точку 
этого графика (причем эти касательные не параллельны оси 
).
Определение. График функции на интервале 
вогнут (выпуклость вниз), если он лежит выше любой касательной (рис. 13). В противном случае выпукл (выпуклостью вверх) (рис.14).
Рис. 13. График вогнут Рис. 14. График выпукл
Отметим критерий выпуклости графика функции: Если функция имеет на конечную 
, то при 
график идёт выпуклостью вниз (вогнут) и при 
график идёт выпуклостью вверх (выпуклый).
Действительно, запишем уравнение касательной к графику в т. 
, т.е. 
и формулу Тейлора в т. 
:
. Произведем вычитание:
, тогда при 
следует неравенство 
(т.е. график функции лежит выше любой касательной), а значит он вогнут. Аналогично при 
имеем неравенство 
(т.е. график функции лежит ниже любой касательной), а значит идёт выпуклостью вверх.
Примечание. Для функции , имеющей производные до порядка n включительно, справедлива формула Тейлора: 
, где 
и 
.
Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 56 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| И достаточное условие экстремума | | | Точки перегиба |