Производная в механике, физике и экономике

Если задан закон движения материальной точки , то отношение называют величиной средней скорости движения, а - величиной мгновенной скорости в момент времени . Следовательно, 1-я производная (или ) в механике дает скорость материальной точки.

Пример 9. Тело, выпущенное вертикально вверх, движется по закону , где - высота измеряется в метрах, а время - в секундах. Найти: а) скорость тела в начальный момент; б) скорость тела в момент соприкосновения с землей; в) наибольшую высоту подъема тела.

Решение: а) Скорость тела в момент равна производной , то есть ; в момент скорость ;

б) в момент соприкосновения с землей , то есть , откуда и (не подходит по смыслу, ибо ). Скорость тела в момент равна (минус указывает на то, что скорость тела в момент противоположна направлению начальной скорости);

в) наибольшая высота подъема будет в момент, когда скорость тела равна нулю и происходит переход от подъема к опусканию тела, то есть , откуда . Наибольшая высота подъема .

Пусть в экономике функция выражает количество произведенной продукции за время , а необходимо найти производительность труда в момент . За период времени от до количество произведенной продукции изменится от значения до значения , тогда средняя производительность труда за этот период времени . Очевидно, что производительность труда в момент можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при , т.е. - производная от количества продукции .

Пример 10. Объем продукции , произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением (ед.), , где - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темпы ее изменения через час после начала работы и за час до её окончания.

Решение. Производительность труда выражается производной (ед./ч), а скорость и темпы изменения производительности – соответственно производной (ед./ч²) и логарифмической производной . В заданный момент времени и соответственно имеем: (ед./ч), (ед./ч²), (ед./ч) и (ед./ч), (ед./ч²), (ед./ч).

К концу работы производительность труда существенно снижается, при этом изменение знака и с “+” на “–“ свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

Дата добавления: 2015-10-02