Читайте также:
|
|
Рассматриваем функцию действительного переменного
, определенную всюду в некоторой окрестности фиксированной точки
.
Будем говорить, что функция возрастает (рис. 4) в точке
, если существует
-окрестность –
, в пределах которой приращение
меняет знак с “–” на “+”. Если
меняет знак с “+” на “–”, то в точке
функция убывает (рис. 5).
Рис. 4 Рис. 5
Функция монотонно возрастает (убывает) в т.
, если
. Этот критерий распространяется на все точки некоторой
- окрестности точки
.
Точка является точкой локального максимума (локального минимума) функции
, если существует
- окрестность т.
, в пределах которой поведение функции как на рис. 6, рис. 7.
Рис. 6 Локальный максимум Рис. 7 Локальный минимум
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума функции.
Замечание. Могут существовать точки функции, не принадлежащие ни к одному из рассматриваемых типов на рис. 4–7, так называемые точки сгущения. Например, т. для функции
не является ни точкой экстремума, ни точкой монотонного возрастания (или убывания). Поскольку производная:
в любой сколь угодно малой окрестности т.
меняет знак.
Необходимое условие экстремума: если функция имеет в точке
локальный экстремум и дифференцируемая в ней, то
. Это доказывается с помощью “малой” теоремы Ферма.
Замечание. Обращение в нуль производной является только необходимым, но не достаточным условием локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции. Так, функция имеет
, которая обращается в нуль в точке
, но никакого экстремума в этой точке
функция не имеет (рис. 8). Здесь
является точкой возрастания функции.
Рис. 8
Точки, в которых производная обращается в нуль, называются стационарными точками функции
.
Каждая стационарная точка – это точка возможного экстремума. Однако сделать заключение о том, что в данной стационарной точке имеется экстремум, можно лишь после дополнительных исследований, которые основываются на следующих теоремах (достаточные условия экстремума):
Если при переходе через стационарную точку производная
меняет знак, то функция в т.
имеет локальный экстремум (рис. 9, рис. 10).
Рис. 9. Локальный максимум Рис. 10. Локальный минимум
Пусть функция имеет в стационарной точке
конечную вторую производную. Тогда эта функция в точке
будет иметь локальный максимум, если
, и локальный минимум, если
.
Если же функция имеет производную всюду в окрестности т.
, кроме самой точки, однако
определена в т.
и ее производная
меняет знак при переходе через
, то функция имеет локальный экстремум, в противном случае нет.
Например, для функций
(рис. 11) и
(рис. 12) является точкой локального минимума, однако
в этой точке не существует.
Рис. 11 Рис. 12
Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 82 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Геометрическое приложение производной | | | Выпуклость графика функции |