Задачи на минимизацию и максимизацию

С помощью производной решаются прикладные задачи на минимизацию (или максимизацию) некоторой геометрической, физической или экономической величины , зависящей от параметров , которые в свою очередь связаны постоянным соотношением . Тогда задача при условии, что , сводится к отысканию экстремальных значений переменной величины (как функции одной переменной) , где получается из уравнения .

Например, рассмотрим следующую задачу: при каких условиях расход жести на изготовление банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим (рис. 28).

Рис. 28

Решение. Этап I. Строим математическую модель задачи. Пусть расход жести есть величина и в силу условия задачи эта величина совпадает с площадью полной поверхности цилиндра: . Итак . Емкость банки совпадает с объемом цилиндра .

Из всех цилиндров, имеющих заданный объем , выбрать тот, у которого площадь полной поверхности является наименьшей. Это эквивалентно решению задачи: при условии . Из постоянного соотношения и тогда

.

Этап II. Решение математической модели. Для этого исследуем на экстремум функцию при . Экстремальные точки находятся там, где производная функции обращается в ноль, то есть или Выясняем знак при переходе через (рис. 29).

Рис. 29

Следовательно, при функция имеет локальный минимум и т.к. уравнение других корней не имеет, то наименьшее значение функции совпадает с локальным min.

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, имеющего заданный объем V, будет наименьшей при и , т.е. когда высота совпадает с диаметром основания.

Этап III. Вычисляем наименьший расход жести на изготовление банки цилиндрической формы заданной емкости. Он будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой. При ; . , - минимальный расход жести. Пусть ; т.е. , .

Вывод. Расход жести увеличивается на 6%.

Варианты индивидуальных заданий

Задание 1 (1.1. – 1.30)

Вычислить первую производную заданных функций.

1.1. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.2. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.3. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.4. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.5. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.6. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.7. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.8. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.9. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.10. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.11. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.12. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.13. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.14. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.15. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.16. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.17. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.18. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.19. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.20. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.21. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.22. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.23. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.24. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.25. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.26. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.27. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.28. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.29. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

1.30. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

Задание 2 (2.1. – 2.30)

Вычислить вторую производную заданных функций.

2.1. а) ; б) , .

2.2. а) ; б) , .

2.3. а) ; б) , .

2.4. а) ; б) , .

2.5. а) ; б) , .

2.6. а) ; б) , .

2.7. а) ; б) , .

2.8. а) ; б) , .

2.9. а) ; б) , .

2.10. а) ; б) , .

2.11. а) ; б) , .

2.12. а) ; б) , .

2.13. а) ; б) , .

2.14. а) ; б) , .

2.15. а) ; б) , .

2.16. а) ; б) , .

2.17. а) ; б) , .

2.18. а) ; б) , .

2.19. а) ; б) , .

2.20. а) ; б) , .

2.21. а) ; б) , .

2.22. а) ; б) , .

2.23. а) ; б) , .

2.24. а) ; б) , .

2.25. а) ; б) , .

2.26. а) ; б) , .

2.27. а) ; б) , .

2.28. а) ; б) , .

2.29. а) ; б) , .

2.30. а) ; б) , .

Задание 3 (3.1. – 3.30)

Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке.

3.1. , ; 3.2. , ;

3.3. , ; 3.4. , ;

3.5. , , ; 3.6. , ;

3.7. , ; 3.8. , ;

3.9. , ; 3.10. , ;

3.11. , ; 3.12. , ;

3.13. , ; 3.14. , ;

3.15. , ; 3.16. , , ;

3.17. , , ; 3.18. , , ;

3.19. , , ; 3.20. , , ;

3.21. , ; 3.22. , ;

3.23. , ; 3.24. , ;

3.25. , ; 3.26. , ;

3.27. , ; 3.28. , ;

3.29. , ; 3.30. , , .

Задание 4 (4.1. – 4.30)

Исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

4.1. а) ; б) .

4.2. а) ; б) .

4.3. а) ; б) ;

4.4. а) ; б) .

4.5. а) ; б) .

4.6. а) ; б) .

4.7. а) ; б) .

4.8. а) ; б) .

4.9. а) ; б) .

4.10. а) ; б) .

4.11. а) ; б) .

4.12. а) ; б) .

4.13. а) ; б) .

4.14. а) ; б) .

4.15. а) ; б) .

4.16. а) ; б) .

4.17. а) ; б) .

4.18. а) ; б) .

4.19. а) ; б) .

4.20. а) ; б) .

4.21. а) ; б) .

4.22. а) ; б) .

4.23. а) ; б) .

4.24. а) ; б) .

4.25. а) ; б) .

4.26. а) ; б) .

4.27. а) ; б) .

4.28. а) ; б) .

4.29. а) ; б) .

4.30. а) ; б) .

Задание 5 (5.1. – 5.30)

5.1. Найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью, вписанного в прямоугольный треугольник, катеты которого, а =8см и b =16см, а один из углов прямоугольника совпадает с прямым углом треугольника.

5.2. Гипотенуза прямоугольного треугольника с =9 . Каковы должны быть катеты а и b, чтобы периметр треугольника был наибольшим?

5.3. Сосуд с крышкой, состоящий из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой, должен вмещать 18 л. воды. Найти размеры сосуда, при которых на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

5.4. На странице книги печатный текст (вместе с промежутками между строками) должен занимать 216 см². Верхние и нижние поля должны быть по 3 см, правое и левое – по 2 см. Каковы должны быть размеры страницы для того, чтобы её площадь была наименьшей?

5.5. Требуется поставить палатку данного объема V, имеющую форму прямого кругового конуса. Найти отношение высоты конуса к радиусу его основания, при котором на палатку уйдет наименьшее количество материала.

5.6. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объёма V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна p ₁ рублей, а стенок – p ₂ рублей. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

5.7. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в эллипс с осями 2 а и 2 b.

5.8. Круговой сектор имеет данный периметр Р. Каков должен быть радиус сектора для того, чтобы площадь сектора была наибольшей?

5.9. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

5.10. Каковы должны быть высота и радиус основания конуса с данной образующей , чтобы объем конуса был наибольший?

5.11. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около данного шара радиуса R.

5.12. Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать V литров воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала?

5.13. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен 300 см. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

5.14. Через точку (3;5) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы площадь треугольника образованного ею с осями координат, была наименьшей.

5.15. Через точку А (2;1) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на осях координат, была наименьшей.

5.16. Найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью, вписанного в прямоугольный треугольник, катеты которого а =4 см и b =8 см, а один из углов прямоугольника совпадает с прямым углом треугольника.

5.17. Имеется 200 м железной решетки, которой надо огородить с трех сторон прямоугольную площадку, примыкающую четвертой стороной к длинной каменной стенке. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы она имела наибольшую площадь.

5.18. Требуется изготовить из жести ведро данного объема V цилиндрической формы без крышки. Найти высоту цилиндра и радиус его основания, при которых на ведро уйдет наименьшее количество материала.

5.19. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело бы наибольший объём?

5.20. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку стен и дна пошло наименьшее количество материала.

5.21. Полоса жести шириной a должна быть согнута в виде открытого желоба так, чтобы поперечное сечение желоба имело форму кругового сегмента. Каким должен быть центральный угол, опирающийся на этот сегмент, для того, чтобы вместимость желоба была наибольшей?

5.22. В прямоугольной системе координат через точку (1;2) проведена прямая, которая вместе с осями координат образует треугольник, расположенный в первом квадрате. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

5.23. В прямоугольной системе координат через точку (1;4) проведена прямая, пересекающаяся с положительными полуосями координат. Написать уравнение прямой, если сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, принимает наименьшее значение.

5.24. Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметра d, с наименьшей стрелой прогиба (наибольшей жесткости)?

5.25. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметра d, чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?

5.26. Сопротивление балки прямоугольного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметра d, чтобы ее сопротивление на сжатие было наибольшим?

5.27. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

5.28. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

5.29. Два источника света расположены в 30 м. друг от друга. На прямой, соединяющей их, найти наименьшую освещённую точку, если силы света источников относятся как 27:8. Замечание: освещенность точки источником света силой F обратно пропорционально квадрату расстояния r её источника света:

5.30. Из всех прямоугольников данного периметра 2 р найти тот, у которого диагональ наименьшая.

Дата добавления: 2015-10-02