Отношение преобладаний

Интуитивно чувствуется, что если А к В связаны, то величина меры связи не должна зависеть от увеличения числа наблюдений, следовательно, если вдруг все частоты ячеек удвоятся, то мы не должны ожидать, что это повлияет на меру связи. Эту мысль пропагандировал Мостеллер [Mosteller F., 1968].

А Симпсон [Simpson E. H., 1951] и Эдвардс [Edwards A. W. F., 1963] полагали, что величина меры связи не должна зависеть от того, в каком порядке пронумерованы категории наших переменных (от чего, конечно, будет зависеть знак меры).

Объединение двух различных соображений приводит к статистике

, (2.13)

[23]

где С - обычное отношение преобладаний, аналогичное? из уравнения (2.6). Любая функция от С тоже будет обладать желаемыми свойствами. Так, мы можем переписать определение Q из (2.12) следующим образом:

,

откуда сразу ясно, что и Q обладает этими желаемыми свойствами. Работать непосредственно с функцией отношения преобладаний не очень удобно отчасти потому, что могут встретиться ячейки с нулевыми частотами. Поэтому предпочитают пользоваться

. (2.14)

Она принимает значения из диапазона (0,?), где 1 соответствует отсутствию связи. Это довольно необычно. Несколько более привычный диапазон значений получается при работе с натуральным логарифмом , который меняется в пределах (-?,?), имея для случая отсутствия связи значение 0.

Корнфилд [Cornfield J., 1956] и Фишер [Fisher R. А., 1962] предложили метод вычисления точного доверительного интервала для по оценке . К сожалению, им нельзя воспользоваться непосредственно и нужна одна из двух машинных программ, написанных Томасом [Thomas D. G., 1971] или Баптистой и Пайком [Baptista J., PikeM. S., 1977]. Или же можно воспользоваться многочисленными предложенными приближенными доверительными интервалами, правда, Гарт и Томас [Gart J.J. and Thomas D.G., 1972] нашли, что все они не вполне пригодны.

Таким образом, в настоящее время, хотя оценку или ее логарифм легко подсчитать, их применение лимитируется отсутствием простых способов получения доверительных интервалов. Большинству совсем не известно о возможностях применения отношения преобладаний. Между тем у нас есть теоретические основания полагать, что они применимы, и, более того, когда мы приступим ниже к изучению логарифмически-линейной модели, мы увидим, что там функции типа С играют центральную роль.

2.8. СИММЕТРИЧНЫЕ И АСИММЕТРИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ? ГУТМАНА

Гудмен и Краскал [Goodman L. A., Kruskal E. Н., 1954] полагали, что меры связи должны иметь значения, допускающие интерпретацию во всем диапазоне (а не только в точках -1, 0 и 1). Они рассмотрели много мер, имеющих вероятностную интерпретацию. Наиболее известны среди них, видимо, меры , и?, впервые предложенные Гутманом [Guttman L., 1941].

[24]

Мера Гутмана основана на следующих рассуждениях. Допустим, что индивиды извлекаются из совокупности случайно и что мы относим их ответы к А, если: а) нет никакой дополнительной информации, б) нет ответа В. Понятно, что дополнительная информация в б) может только усилить шансы на корректность нашего предположения. Если известно, что отсутствие ответа В всегда дает нам право считать предположение об ответе А верным, то А к В будут коррелированы с коэффициентом +1. Если же это не увеличивает наших шансов, то они будут некоррелированы. Гутмановские меры? - это простые функции относительного увеличения наших шансов на правильность предположения.

Чтобы не раздражать читателей, мы оставим формулы для? до следующей главы, где нам придется встретиться с более общей ситуацией. Мы поступаем так отчасти для того, чтобы не повторяться, а отчасти потому, что? -меры не слишком хорошо работают для таблиц 2?2, поскольку если наибольшие частоты обеих строк придутся на один и тот же столбец, то обратится в 0 независимо от значений всех прочих частот.

2.9. МЕРА? ГУДМЕНА И КРАСКАЛА

Кроме знаменитых -мер, Гудмен и Краскал предложили еще более простые? -меры, которые мы подробно обсудим в следующей главе. Для случая 2?2 все три? -меры (?_a > ?_b и ?_ab) значительно упрощаются и сводятся к

(2.15)

которое суть просто исходная статистика X² для проверки качества модели (см. уравнение 2.9), деленная на f₀₀.

2.10. МЕРЫ. ОСНОВАННЫЕ НЕПОСРЕДСТВЕННО НА X²

Поскольку?²-критерий служит основой для проверки независимости, имеет смысл рассмотреть возможность использования вычисленных значений X² в качестве мер связи. Правда, они изменяются от О до? вместо привычных -1? +1. Предлагалось множество преобразований, среди которых укажем следующие:

, (2.16)

. (2.17)

Статистику? называют иногда квадратным корнемиз среднего квадрата коэффициента сопряженности, а С называют коэффициентом сопряженности. Неудобство С заключается в том, что его максимальное значение в раза больше, чем 1, Квадрат?, равный?²,совпа-

[25]

дает со значением?, приведенным в (2.15), и тождествен также двум старым мерам: V Крамера и Т Чупрова в их формах для таблиц 2?2. Все прочие меры страдают отсутствием каких бы то ни было статистических интерпретаций и потому не могут быть рекомендованы.

Дата добавления: 2015-09-01