Хи-квадрат критерий качества модели

В предыдущем параграфе мы обсуждали ситуацию, где на основе предварительной информации мы заключили, что наиболее вероятное значение некоторой частоты равно 485. Следовательно, мы имели ожидаемую частоту 485. Давайте теперь предположим, что наблюденное значение этой частоты оказалось 510. Мы хотим знать, не слишком ли велико различие между 510 и 485, равное 25, чтобы усомниться в разумности <ожидаемого> значения 485 и отказаться от него. Ясно, что это различие должно играть важную роль в нашем решении, но ясно и то, что мы должны считаться с отношением величины различия и ожидаемого значения 485, поскольку 25 должно быть более существенным для малых ожидаемых значений, чем для больших. Эти соображения приводят нас к использованию величины 25?25/485 в качестве критерия меры пригодности или непригодности нашей гипотезы.

В случаях, которые мы рассмотрим в этой книге, в основном те же самые идеи оценивания и ожидания будут прилагаться к каждому из индивидуальных значений в таблице сопряженности, подобной табл. 1.5. Для таких данных мы можем, например, ввести в рассмотрение одну из следующих гипотез:

[13]

H'_o - числа мужчин и женщин в совокупности равны; 40% лиц обоих полов - старше 45 лет, 3 из 4 мужчин предпочитают крикет, 3 из 4 женщин предпочитают теннис;

H''_o - результаты второго обследования должны быть такими же, как и первого (табл. 1.3), ожидаются лишь различия, обусловленные случайной изменчивостью;

H'''_о - доли мужчин-любителей крикета и людей старше 45 лет те же, что в выборке, и все они независимы друг от друга.

Каждой из этих нуль-гипотез соответствуют свои альтернативы, которые просто устанавливают, что данная нуль-гипотеза не верна.

Так как нас интересует каждое из индивидуальных значений в таблице, нам надо объединить информацию о различиях между ожидаемыми (E) и наблюдаемыми (О) значениями. Первое, что приходит в голову, - это рассмотреть величину (О - Е)²/Е и придумать какую-нибудь статистическую теорию для этой величины, чтобы получить подходящий метод объединения информации при получении этой величины для каждой ячейки с последующим суммированием по ячейкам. Другими словами, мы вводим статистику для нашего критерия, обозначаемую X² и равную, по определению,

X² = (1.3)

К. Пирсон [Pearson К., 1904] был первым, кто предложил этот критерий и доказал, что, если только ожидаемые значения не слишком малы, распределение X² будет приблизительно тем же, что и распределение?²- Число степеней свободы для?²-распределения получается при вычислении d, где

d =(число ячеек) - (число ограничений, налагаемых на данные). (1.4)

Для гипотез H'_o и H''_o существует только одно ограничение на данные, а именно: сумма ожидаемых значений равна 400 (сумме наблюденных значений). Для гипотезы H'''_о ограничения более сложные, и мы рассмотрим их подробно ниже. Величину X² иногда называют?² критерием Пирсона.

Альтернатива для X², которой мы будем широко пользоваться, - это величина

Y² = 2 . (1.5)

Она получается из сопоставления оцениваемой вероятности совместного появления наших данных при условии верности нуль-гипотезы с соответствующей вероятностью для альтернативной гипотезы. Оцениваемая совместная вероятность такого типа называется правдоподобием, а уравнение (1.5) есть отношение двух правдоподобий. Следовательно, Y² тоже имеет приближенное распределение X² с тем же самым числом степеней свободы, поэтому его иногда называют?²- отношением правдоподобия. На практике редко наблюдаются очень большие расхождения между значениями X² и Y².

[14]

Дата добавления: 2015-09-01