Нормальное распределение

Есть в статистике очень важная теорема, называемая центральной предельной теоремой. Она, между прочим, утверждает, что любые величины, которые в основном состоят из множества аналогичных отдельных значений, должны иметь приближенное нормальное распределение. А поскольку мы очень часто вынуждены иметь дело с суммами, нормальное распределение играет в статистике важную роль. Особенно важно так называемое единичное (нормированное) нормальное распределение - частный случай нормального со средним 0 и дисперсией 1.

Если X - случайная величина с единичным нормальным распределением, то мы определим

Р [X? х ] = Ф (х), (1.1)

где выражение в левой части уравнения (1.1) читается так: <вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное x >. Поскольку единичное нормальное распределение симметрично относительно среднего, равного 0, справедливо тождество

Ф(- х) = 1-Ф(х). (1.2)

В приложении 1 приведены краткие таблицы значения Ф (х) для положительных х. А для отрицательных значений х можно воспользоваться соотношением (1.2).

Пример 1.1

Известно, что случайная величина X имеет единичное нормальное распределение. Пусть нас интересуют следующие вопросы:

а. Чему равна вероятность того, что X превышает 0,4?

б. Будет ли значение - 1,8 необычайно малым?

Обратимся к приложению 1. Для х = 0,4 находим Ф(0,4) = 0,655. Это вероятность того, что X меньше, чем 0,4, следовательно, требуемая вероятность равна: 1 - 0,655 = 0,345.

Для х = 1,8 находим Ф(1,8) = 0,964. Нас же интересует вероятность Р [X? - 1,8], которая в силу симметрии равна Р[X?1,8], и, следовательно, составляет 1 - 0,964 = 0,036, или 3,6%. Мы можем почувствовать, что - 1,8 это действительно довольно малое значение.

[10]

Дата добавления: 2015-09-01