Читайте также:
|
|
Если уравнение , где
- дифференцируемая функция по переменным
, определяет
как функцию независимых переменных
, то частные производные этой неявной функции
вычисляются по формулам:
,
,…,
при условии, что
.
В частности, для функции , заданной неявно уравнением
справедлива формула
, при условии
, а для функции
, заданной уравнением
справедливы формулы: ,
, при условии
.
Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.
Уравнение касательной плоскости к поверхности , заданной неявным уравнением
, в точке
имеет вид
, а уравнение нормали – вид
.
Тема 6. Экстремумы функций нескольких переменных.
Точка , принадлежащая области определения
функции
, называется стационарной точкой функции, если в этой точке каждая из её частных производных равна нулю, т.е.
,…,
или
.
Точка называется точкой минимума (максимума) функции
, если существует окрестность точки
такая, что для всех точек
этой окрестности выполняется неравенство
(
).
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции
, дифференцируемой в точке
, то
- стационарная точка функции.
Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка дважды дифференцируемой в точке
функции
. Тогда, если при всевозможных наборах значений
, не равных одновременно нулю:
1) , то в точке
функция
имеет максимум; 2)
, то в точке
функция имеет минимум; 3)
принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке
функция
не имеет экстремума.
Исследование знака сводится к исследованию знакоопределённости второго дифференциала, как квадратичной формы относительно переменных
(например, с помощью критерия Сильвестра).
В частности, функция в стационарной точке
, при условии
, где
,
,
: 1) имеет максимум, если
и
; 2) имеет минимум, если
и
; 3) не имеет экстремума, если
.
Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции
, если существует окрестность точки
такая, что для всех точек
этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи
(
) выполняется неравенство
(
). Точки условного минимума и максимума функции называются точками условного экстремума, а значения функции в этих точках – условными экстремумами функции.
Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа , где
(
) –постоянные множители Лагранжа.
Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции
при наличии уравнений связи
(
), то в точке
выполняются условия
.
Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа
.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа в точке
при значениях
, рассматриваемого как квадратичная форма относительно переменных
при условии, что они связаны соотношениями:
(
).
В частности, для функции исследуется знак
при условии
.
Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции
, т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений
, удовлетворяющих соотношениям
(
) и не равных одновременно нулю: 1)
, то в точке
функция
имеет условный максимум; 2)
, то в точке
функция имеет условный минимум; 3)
принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке
функция
не имеет условного экстремума.
Если функция дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.
Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 234 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Основные правила дифференцирования элементарных функций. | | | Неопределенный интеграл |