Читайте также:
|
|
1) Находим область определения функции .
2) Составляем функцию Лагранжа: .
3) Записываем необходимое условие условного экстремума ,
где: ,
. Получим
. Решая систему, находим две точки возможного условного экстремума функции
вобласти
и соответствующие им значения множителя Лагранжа
:
при
и
при
.
4) Находим выражение второго дифференциала функции Лагранжа
.
Вычисляем при условии
, учитывая, что:
;
.
Получим:
;
.
5) Делаем вывод о наличии экстремумов. Так как для всех :
, то в точке
- условный локальный минимум;
, то в точке
- условный локальный максимум.
6) Находим условные минимум и максимум функции при условии
:
,
Ответ: ,
при условии
.
10.1–30. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
в области D:
Функция , дифференцируемая в ограниченной замкнутой области
, достигает своего наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках
, или в точках границы
области
. Для их нахождения необходимо: 1) Найти все стационарные точки
функции и вычислить в них значения функции
. 2) Найти наибольшее
и наименьшее
значения функции на границе
, задаваемой одним аналитическим выражением в явном виде
или
. Если
, где
задаются одним аналитическим выражением в явном виде, то находят наибольшие и наименьшие значения
и
функции на каждом из участков
границы. 3) Сравнить значения функции
,
,
и выбрать из них наибольшее
и наименьшее
значения функции в области
.
Решение. Изображаемобласть (она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми
,
,
), находим стационарные точки
функции
, решаясистему уравнений
, и вычисляем в них значения функции
.
Учитывая, что: ,
, получим
. Отсюда
,
и, следовательно, единственной стационарной точкой функции в области
является точка
.
Вычислив значение функции в этой точке, получим .
2) Границу области
представляем в виде
, где
:
,
;
:
,
;
:
,
и находим наибольшие и наименьшие значения функции на каждом из участков границы:
,
,
,
,
,
.
На участке :
,
:
. Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной
на отрезке
. Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу
или на концах отрезка. Для их отысканиянаходим первую производную функции:
и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки
в которых
или
не существует:
, точек
в которых
не существует нет. Вычисляем значения функции
во внутренних критических точках (таких точек нет) и на концах отрезка
:
,
. Сравнивая значения
,
находим наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
:
,
.
На участке :
,
:
. Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной
на отрезке
. Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу
или на концах отрезка. Для их отысканиянаходим первую производную функции:
и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки
в которых
или
не существует:
, точек
в которых
не существует нет. Вычисляем значения функции
во внутренних критических точках и на концах отрезка
:
,
,
. Сравнивая значения
,
,
находим наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
:
,
.
На участке :
,
:
. Таким образом, пришли к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной
на отрезке
. Эти значения функция принимает или в критических точках, принадлежащих интервалу
или на концах отрезка. Для их отысканиянаходим первую производную функции:
и определяем её внутренние критические точки, т.е. точки
в которых
или
не существует:
, точек
в которых
не существует нет. Вычисляем значения функции
во внутренних критических точках и на концах отрезка
:
,
,
. Сравнивая значения
,
,
находим наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
:
,
3) Сравнивая значения функции ,
,
,
,
,
,
, делаем вывод, что
,
.
Ответ: ,
.
11.1 – 30. Н айти: а) координаты градиента функции в точке
; б) уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
в точке
.
Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 37 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Найти условные экстремумы функции приусловии . | | | Решение. |