Формула Тейлора для произвольной функции.

Пусть функция y=f (x) определена в некоторой окрестности точки х ₀ и имеет в точке х ₀ производные до порядка n включительно.

Многочлен

T_n (x)= (х-х ₀) ^к = f (х ₀)+ (18.41)

называется многочленом Тейлора степени n функции y=f (x) в точке х ₀.

Многочлен Тейлора (18.41) функции y=f (x) обладает тем свойством, что его производные в точке х ₀ совпадают с соответствующими производными функциями y=f (x) в точке х ₀:

= f ^{( k )}(x ₀), к = 0, 1, …, n.

Для этого нужно вычислить многочлен Т_n (x) и его производные в точке х ₀.

Представление

f (x)= T_n (x)+ R_n (x)= (х-х ₀) ^к + R_n (x) (18.42)

называется формулой Тейлора функции y=f (x) в точке х ₀, где R_n (x)= f (x)- Т_n (x) называется остаточным членом формулы Тейлора.

Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию y=f (x) в виде многочлена (многочлена Тейлора T_n (x)) и дать оценку погрешности этого приближения (оценив остаточный член формулы Тейлора R_n (x)).

Теорема 18.9. (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть y=f (x) имеет в точке х ₀ производные до порядка n включительно. Тогда при х → x ₀

R_n (x)= ((х-х ₀) ⁿ) и f (x)= (х-х ₀) ^к + ((х-х ₀) ⁿ). (18.43)

Это и есть формула Тейлора функции y=f (x) с остаточным членом в форме Пеано.

Теорема 18.10. (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция y=f (x) определена в некоторой окрестности точки х ₀ и имеет в этой окрестности производные до (n +1)-го порядка включительно. Тогда для любого х из этой окрестности найдется точка с Î(х ₀, х) такая, что

R_n (x)= (х-х ₀) ^{n+ 1} и f (x)= (х-х ₀) ^к + (х-х ₀) ^{n+ 1}. (18.44)

Это и есть формула Тейлора функции y=f (x) с остаточным членом в форме Лагранжа.

Замечание 1. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа позволяет оценивать степень приближения функции y=f (x) ее многочленом Тейлора T_n (x). Пусть (n +1)-я производная f ^{( n +1)}(x) ограничена в окрестности точки х ₀, т.е. существует число М >0 такое, что | f ^{( n +1)}(x)|≤ М для всех х из указанной окрестности. Тогда справедливо неравенство

| R_n (x)|≤ •| x-x ₀| ^{n+ 1}. (18.45)

Замечание 2. Формула Тейлора в форме дифференциалов.

Заметим, что f ^(к)(x ₀) (х-х ₀) ^к = f ^(к)(x ₀) D х^к= f ^(к)(x ₀) dx^k=d^k f (x ₀), а х-х ₀=D х, то формулу (18.43) можно записать в виде

f (x)= d^k f (x ₀)+ ((D х) ⁿ)= f (x ₀)+ df (x ₀)+ d ² f (x ₀)+…+ dⁿ f (x ₀)+ ((D х) ⁿ), (18.46)

Замечание 3. Формула Тейлора функции y=f (x) в точке х ₀=0 называется формулой Маклорена.

Формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано:

f (x)= х^к + (хⁿ)= f (x ₀)+ x + x ²+…+ xⁿ + (хⁿ). (18.47)

Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа:

f (x)= х^к + х^{n+ 1}= f (0)+ x + x ²+…+ xⁿ + х^{n+ 1} (18.48)

Дата добавления: 2015-07-20