Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.

Непрерывность функции в точке. | Локальные свойства непрерывных функций. | Непрерывность основных элементарных функций. | Точки разрыва функции и их классификация. | Свойства функций, непрерывных на отрезке. | Понятие производной. | Дифференцируемость. | Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями. | Производная сложной функции | Производная обратной функции. |


Читайте также:
  1. II. Работа над смысловой и интонационной законченностью предположения.
  2. III. Выберите соответствующие смыслу слова для следующих предложений.
  3. VI. Существительные, употребляемые в единственном или во множественном числе (по смыслу), не меняя формы.
  4. Аксиология. Религиозные, эстетические и нравственные ценности и их роль в человеческой жизни. Смысл человеческого бытия.
  5. Аналитический метод определения перемещений в балке при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии. Вычисление прогибов и углов поворотов сечений.
  6. Балансовая смета компании с ограниченной ответственностью дает полное отражение ее положения В ней четко и недвусмысленно указаны все активы и пассивы.
  7. Белка учит вас всегда иметь что-то про запас - не в смысле скряжничества или накопительства, но в смысле предусмотрительности, даже если впоследствии это не понадобится.

 

Пусть функция y=f (x) определена и непрерывна в интервале (a,b). Пусть х 0Î(a,b), тогда точка М 0(х 0, у 0), где y 0= f (x 0) лежит на графике функции (см. рис. 18.3).

Пусть М (х, у), где y=f (x), другая точка графика функции и х = х 0+D х. Проведем через М 0 и М прямую и назовем ее секущей. Обозначим через j угол между секущей М 0 М и осью Ох. Заметим еще, что расстояние между точками М 0 и М стремится к нулю, когда точка М стремится вдоль кривой вдоль кривой к точке М 0, т.е. | М 0 М |= →0 при D х →0, ведь D у →0 при D х →0 в силу непрерывности функции y = f (x).

Касательной M 0 N к графику функции y=f (x) в точке М 0 называется предельное положение

секущей М 0 М, когда точка М неограниченно приближается вдоль графика функции к точке М 0, т.е. при D х →0.

Пусть j 0 – угол между касательной М 0 N и осью Ох. Тогда из рисунка 18.3. ясно, что
j =j (D х)→ j 0 при D х →0, т.е. tg j= tg j (D x)= tg j 0.

Но

tg j = ,

поэтому

tg j = = (x 0) = tg j 0.

Таким образом, производная функции y=f (x) в точке х 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М 0(х 0, f (x 0)).

Уравнение прямой, проходящей через точку М 0(х 0, у 0) с угловым коэффициентом к имеет вид у - у 0 = к (х-х 0), поэтому уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке М 0(х 0, f (x 0)) имеет вид

у-f (x 0)= f ¢ (x 0)(x-x 0),
(18.15)

где к=f¢ (x 0).

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к графику функции y=f (x) (см. рис. 18.4) и имеет уравнение

y-f (x 0)=

Если (x 0)=0, т.е. касательная горизонтальна и имеет уравнение у = у0, то нормаль вертикальна и имеет уравнение
х = х 0.

Пусть даны две кривые y=f 1(x) и y=f 2(x), пересекающиеся в точке М 0(х 0, у 0), причем обе функции имеют производные в точке х 0. Углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения М 0 (рис. 18.5.). Этот угол j можно найти из формулы

tg j = ,

где к 1= f 1¢(x 0), к 2= f 2¢(x 0).

 

 


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 114 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Логарифмическая производная| Односторонние и бесконечные производные.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)