Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.

Пусть функция y=f (x) определена и непрерывна в интервале (a,b). Пусть х ₀Î(a,b), тогда точка М ₀(х ₀, у ₀), где y ₀= f (x ₀) лежит на графике функции (см. рис. 18.3).

Пусть М (х, у), где y=f (x), другая точка графика функции и х = х ₀+D х. Проведем через М ₀ и М прямую и назовем ее секущей. Обозначим через j угол между секущей М ₀ М и осью Ох. Заметим еще, что расстояние между точками М ₀ и М стремится к нулю, когда точка М стремится вдоль кривой вдоль кривой к точке М ₀, т.е. | М ₀ М |= →0 при D х →0, ведь D у →0 при D х →0 в силу непрерывности функции y = f (x).

Касательной M ₀ N к графику функции y=f (x) в точке М ₀ называется предельное положение

секущей М ₀ М, когда точка М неограниченно приближается вдоль графика функции к точке М ₀, т.е. при D х →0.

Пусть j ₀ – угол между касательной М ₀ N и осью Ох. Тогда из рисунка 18.3. ясно, что
j =j (D х)→ j ₀ при D х →0, т.е. tg j= tg j (D x)= tg j ₀.

Но

tg j = ,

поэтому

tg j = = f¢ (x ₀) = tg j ₀.

Таким образом, производная функции y=f (x) в точке х ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М ₀(х ₀, f (x ₀)).

Уравнение прямой, проходящей через точку М ₀(х ₀, у ₀) с угловым коэффициентом к имеет вид у - у ₀ = к (х-х ₀), поэтому уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке М ₀(х ₀, f (x ₀)) имеет вид

у-f (x ₀)= f ¢ (x ₀)(x-x ₀),

(18.15)

где к=f¢ (x ₀).

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к графику функции y=f (x) (см. рис. 18.4) и имеет уравнение

y-f (x ₀)=

Если f¢ (x ₀)=0, т.е. касательная горизонтальна и имеет уравнение у = у₀, то нормаль вертикальна и имеет уравнение
х = х ₀.

Пусть даны две кривые y=f ₁(x) и y=f ₂(x), пересекающиеся в точке М ₀(х ₀, у ₀), причем обе функции имеют производные в точке х ₀. Углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения М ₀ (рис. 18.5.). Этот угол j можно найти из формулы

tg j = ,

где к ₁= f ₁¢(x ₀), к ₂= f ₂¢(x ₀).

Дата добавления: 2015-07-20