Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.

Получим формулы для производных суммы, произведения и частного функций.

Теорема 18.2. Пусть функция y=f (x) и у=g (x) определены в некоторой окрестности точки х ₀ и дифференцируемы в самой точке х ₀. Тогда их сумма f (x)+ g (x), произведение f (x)• g (x) и частное (если f (x ₀)≠0) имеют производные в точке х ₀, равные соответственно

f¢ (x ₀)+ g¢ (x ₀), f¢ (x ₀) g (x ₀)+ f (x ₀) g¢ (x ₀) и ,

т.е.

(f+g)¢ (x ₀)= f¢ (x ₀)+ g¢ (x ₀),

(f•g)¢ (x ₀)= f¢ (x ₀) g (x ₀)+ f (x ₀) g¢ (x ₀),

(x ₀)= .

Следствия 18.1. Если функция y=f (x) дифференцируема в точке х ₀, а с – постоянная, то

(cf)¢(x ₀)= cf¢ (x ₀),

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Доказательство. Пусть y=f (x) и у=g (x) дифференцируемы в точке х ₀, то D f=f¢ (x ₀)D x+α (D x)D x и Dg= g¢ (x ₀)D x+β (D x)D x. Так как D(f+g)= f (x)+ g (x)- f (x ₀) -g (x ₀)=D f+ D g, то приращение суммы функций (f+g)(x)= f (x)+ g (x) можно представить в виде

D(f+g)=[ f¢ (x ₀)+ g¢ (x ₀)]D x+ g(D x)D x,

где g(D х)= α (D x)+ β (D x) – б. м. при D х →0, но это и означает, что

D(f+g)(х ₀)= f¢ (x ₀) +g¢ (x ₀).

Аналогично,

D(fg)= f (x) g (x)- f (x ₀) g (x ₀) = f (x) g (x)- f (x ₀) g (x)+ f (x ₀) g (x)- f (x ₀) g (x ₀) =

= [ f (x)- f (x ₀)] g (x)+ f (x ₀)[ g (x)- g (x ₀)] = D f•g (x)+ f (x ₀)D g =

= [ f¢ (x ₀)D x+α (D x)D x ][ g (x ₀)+g(D x)]+ f (x ₀)[ g¢ (x ₀)+ β (D x)D x ] =

= [ f¢ (x ₀) g (x ₀)+ f (x ₀) g¢ (x ₀)]D x+ [ α (D x)(g (x ₀)+g(D x)) + f (x ₀) β (D x)D x ] =

= [ f¢ (x ₀) g (x ₀)+ f (x ₀) g¢ (x ₀)]D x+ d(D x)D x,

где g(D x) и d(D x)= α (D x)•(g (x ₀)+g(D x))+ f (x ₀)• β (D x) – б. м. функции при D х →0, но это и означает, что произведение функций (f•g)(x ₀)= f¢ (x ₀) g (x ₀)+ f (x ₀) g¢ (x ₀).

Теорема доказана.

Функция называется дифференцируемой в интервале (a,b), конечном или бесконечном, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Пусть функции u=u (x) и v=v (x) дифференцируемы в интервале (a,b). Тогда правилам вычисления производных можно придать следующий вид:

Пример 18.7. y=f (x)= tg x, x ≠ + pn, n Î Z.

у¢ = (tg x)¢= = = .

Итак,

.

(tg x)¢=

Дата добавления: 2015-07-20